Економетрика - Тема3(СЕУ)
СИСТЕМИ ЕКОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ
Наприклад, традиційна модель попиту та пропозиції має пояснювати співвідношення між ціною та обсягом випуску, характерні для деякого певного ринку. Тому вона повинна містити 3 рівняння:
рівняння попиту (увійде дохід);
рівняння пропозиції (увійде ціна);
рівняння реакції ринку.
Робиться це для того, щоб створити більш повну, адекватну модель явища, що вивчається.
Більш претензійні моделі містять набагато більше рівнянь і з їх допомогою намагаються відобразити поведінку значно більшої кількості змінних.
Наприклад, «Бруклінський проект», розроблений США включає 359 рівнянь і 56 тотожностей.
Голландська економетрична модель: 53 рівняння та використовується для прогнозування економічної політики країни.
У будь-якій економетричній моделі залежно від кінцевих прикладних цілей її використання всі перемінні, що беруть участь у ній, поділяються на:
Екзогенні (незалежні) – значення яких задаються «ззовні», автономно, певною мірою є керованими (планованими) (X);
Ендогенні (залежні) – значення яких визначаються всередині моделі, або взаємозалежні (Y).
Лагові – екзогенні або ендогенні змінні економетричної моделі, датовані попередніми моментами часу та що перебувають у порівнянні з поточними змінними. Наприклад: Yt - поточна ендогенна змінна,
Yt-1 – лагова ендогенна змінна,
Yt-2 - теж лагова ендогенна змінна.
Зумовлені змінні – змінні, що визначаються поза моделлю. До них відносяться лагові та поточні екзогенні змінні (Xt,Xt-1), а також ендогенні лагові змінні (Yt-1).
Усі економетричні моделіпризначені для пояснення поточних значень ендогенних змінних за значеннями визначених змінних.
Система рівнянь в економетричних дослідженнях можна побудувати по-різному. Виділяють такі 3 види систем рівнянь.
Система незалежних рівнянь, коли кожна залежна змінна (Y) розглядається як функція одного і того ж набору факторів (Х):
Набір факторів у кожному рівнянні може змінюватись. Так, модель виду:
також є системою незалежних рівнянь.
Відсутність того чи іншого фактора в рівнянні системи може бути наслідком як економічної недоцільності його включення в модель, так і несуттєвості його впливу на результативну ознаку (незначне значення t-критерію або приватного F-критерію для даного фактора).
Система рекурсивних рівнянь,коли залежна змінна одного рівняння виступає в ролі фактора в іншому рівнянні:
У цій системі залежна змінна включає в кожне наступне рівняння як фактори всі залежні змінні попередніх рівнянь поряд з набором власне факторів х. Прикладом такої системи може бути модель продуктивності праці та фондовіддачі виду:
де y1 -продуктивність праці;
x1 – фондоозброєність праці;
x2 – енергоозброєність праці;
x3 – кваліфікація робітників.
У розглянутих двох видах систем кожне рівняння можна розглядати самостійно, і параметри рівняння визначаються з допомогою методу найменших квадратів (МНК).
Система взаємозалежних (спільних, одночасних) рівнянь, коли одні й ті самі залежні змінні в одних рівняннях входять до лівої частини, а в інших рівняннях – до правої частини системи:
Назва система одночасних рівнянь підкреслює те що, що у системі одні й самі змінні одночасно розглядаються як залежні у одних рівняннях і як незалежні за іншими.
В економетриці ця система рівнянь також називаєтьсяструктурною формою моделі.
На відміну від попередніх систем кожне рівняння системи одночасних рівнянь неспроможна розглядатися самостійно, й у знаходження його властивостей традиційний МНК непридатний, т.к. порушуються такі передумови, що лежать в основі МНК:
Причинно-наслідкова залежність між змінними у рівнянні. У першому рівнянні y1 є функція y2, у другому рівнянні y2 є функція y1.
Відсутність взаємозв'язку між факторами (відсутність мультиколінеарності). Як випливає з рівняння 2 системи y2 залежить від x1, але ці змінні фігурують як факторні ознаки в рівнянні 1 (тобто має місце мультиколлінеарність).
Незалежність залишків та факторних ознак. Існує залежність між y2 x1, yu2 yu1 відповідно.
В результаті оцінки виходять зміщеними
З огляду на вищесказаного з метою оцінки параметрів системи одночасних рівнянь застосовуються спеціальні методи – непрямий і двокроковий МНК.
Прикладом системи одночасних рівнянь є модель Кейнса:
c– витрати на споживання
i- заощадження (інвестиції);
cіy – взаємозалежні змінні;
Структурна та наведена форми системи одночасних рівнянь
У загальному вигляді, модель одночасних рівнянь, що містить Kрівнянь для Мендогенних змінних, можна представити таким чином:
y1 = b12 * y2 + b13 * y3 +. +b1k*yk+c11*x1+. +c1m*xm+u1
y2=b21*y1+ +b23*y3+. +b2k*yk+c21*x1+. +c2m*xm+u2
y3 = b31 * y1 + b32 * y3 + +. +b3k*yk+c31*x1+. +c3m*xm+u3
yk=bk1*y1+bk2*y2+bk3*y3+. +ck1*x1+. +ckm*xm+uk
y1. yk-ендогенні змінні;
x1. xm – зумовлені змінні, одна з них набуває значення =1, щоб відобразити параметр рівняння регресії, що не містить змінних (вільний член). (! Зумовленими змінними можуть бути і ендогенні лагові змінні, тобто. Xi=Yj-1)
Деякі з рівнянь системи може бути представлені як тотожностей, тобто. параметри цих рівнянь мають значення рівні 1 (наприклад, 2-е рівняння моделі Кейнса).
Інші рівняння системи є поведінковими рівняннями.
Цю економетричну модель називають структурною формою моделі, т.к. вона відбиває структуру економіки чи її сектора, чи поведінка економічної одиниці.
Коефіцієнти b, називають структурними параметрами або коефіцієнтами.
Від структурної форми легко перейти до так званої наведеноїформи моделі, в якій всі ендогенні змінні виражені через зумовлені змінні:
Приклад: знову звернемося до моделі Кейнса:
Якщо M-m=k-1 рівняння точно ідентифіковано.
Якщо M-m>k-1, рівняння надідентифіковано.
! Ці правила слід застосовувати у структурній формі моделі.
Розглянемо приклад: Дана структурна форма моделі попиту та пропозиції:
Qt=a1+b11*Pt+b12*It+u1t –функція попиту
Qt=a2+b21*Pt+b22*Pt-1+u2t- функція пропозиції
Pt-1 – ціна у попередній період часу.
Ендогенні взаємозалежні змінні:
Qt-кількість товару
Випадкові змінні: u1t, u2t
Параметри моделі: a,b
Для першого рівняння моделі (функції попиту) k = 2; m = 1;
M-m = 2-1 = 1 = k-1 = 2-1 = 1, отже,рівняння точно ідентифіковано.
Для другого рівняння (функція пропозиції) k = 2; m = 1;
M-m=2-1=1 =k-1=2-1=1, отже, рівняння точно ідентифіковано.
Достатня умова ідентифікації.
Сформульоване вище правило - необхідна, але недостатня умова ідентифікації, тому навіть якщо воно виконане рівняння може виявитися неідентифікованим. Введемо позначення: А – матриця коефіцієнтів при змінних які входять у це рівняння.
Достатня умова ідентифікації полягає в тому, що ранг матриці А дорівнював (К-1). Ранг матриці - розмір найбільшої її квадратної підматриці, визначник якої не дорівнює нулю.
Ранг матриці – максимальна кількість лінійно незалежних рядків та стовпців цієї матриці.
Наприклад, нехай є система:
y1 -a1 -b12*y2-b13*y3-c11*x1 =u1
y2 – a2 -b23*y3-c21*x1-c22*x2 =u2
y3 – a3 –b31*y1 -c31*x1-c32*x2 =u3
y4 – a4 –b41*y1-b42*y2 -c43*x3=u4
У цій системі y1-y4 – ендогенні змінні;
x1-x3 – екзогенні змінні.
Відповідно до необхідною порядковою умовою ідентифікації кожне рівняння точно ідентифіковано, т.к. К=4; К-1 = 3; М = 3; К+М=7.
k1=3; m1=1; M-m1=2 = k1-1=2, отже, перше рівняння точно ідентифіковано.
k2=2; m2=2; M-m2=1 = k2-1=1, отже, друге рівняння точно ідентифіковано.
k3=2; m3=2; M-m3=1 = k3-1=1, отже, 3-е рівняння точно ідентифіковано.
k4=3; m4=1; M-m4=2 = k4-1=2, отже, 4-е рівняння точно ідентифіковано.
Розглянемо перше рівняння цієї системи. Перевіримо для нього достатню умову ідентифікації:
Складемо матрицю коефіцієнтів при змінних: y4, x2, x3 (що не входять до рівняння 1):
0 -с22 0 -у 2-му рівнянні
А = 0 - c32 0 - в 3-му рівнянні
1 0 -c43 - у 4-му рівнянні
Перевіримо, що ранг матриці = 2 (тобто визначник матриці А дорівнює 0). Оскільки ранг матриці (2) менше К-1=3, то перше рівняння моделі не ідентифіковано.
Розглянемо друге рівняння цієї системи. Перевіримо для нього достатню умову ідентифікації:
Складемо матрицю коефіцієнтів при змінних: y1, y4, x3 (що не входять до рівняння 1):
1 0 0 - у 1-му рівнянні
А = -b31 0 0 - у 3-му рівнянні
-b41 1 -c43 - у 4-му рівнянні
Перевіримо, що ранг матриці = 2 (тобто визначник матриці дорівнює 0). Оскільки ранг матриці (2) менше К-1=3, то друге рівняння моделі не ідентифіковано.
Розглянемо 3-тє рівняння цієї системи. Перевіримо для нього достатню умову ідентифікації:
Складемо матрицю коефіцієнтів при змінних: y2, y4, x3 (що не входять до рівняння 1):
-b12 0 0 - у 1-му рівнянні
А = 100 - у 2-му рівнянні
-b42 1 -c43 - у 4-му рівнянні
Перевіримо, що ранг матриці = 2 (тобто визначник матриці дорівнює 0). Так як ранг матриці (2) менший К-1=3, то 3-е рівняння моделі не ідентифіковано.
Розглянемо четверте рівняння цієї системи. Перевіримо для нього достатню умову ідентифікації:
Складемо матрицю коефіцієнтів при змінних: y3, x1, x2 (що не входять до рівняння 1):
-b13 -c11 0 - у 1-му рівнянні
А = -b23 -c21 -c22 - у 2-му рівнянні
1 -c31 -c32 - у 3-му рівнянні
Перевіримо, що ранг матриці = 3 (тобто визначник матриці не дорівнює 0). Оскільки ранг матриці (3) дорівнює К-1=3, то 4-е рівняння моделі точно ідентифіковано.
Перевіримо модель попиту та пропозиції, розглянуту раніше на достатню умову ідентифікації.
Для першогорівняння: Pt-1 – змінна моделі, яка відсутня у цьому рівнянні. Ранг матриці А у разі дорівнює 1, що збігається з К-1=1. Отже, рівняння 1 точно ідентифіковано.
Для другого рівняння: It - змінна моделі, яка відсутня в даному рівнянні. Ранг матриці А у разі також дорівнює 1, що збігається з К-1=1. Отже, рівняння 2 також точно ідентифіковано.
Сформулюємо необхідну та достатню умову ідентифікації:
1) Якщо M-m>k-1 і ранг матриці А дорівнює К-1, то рівняння надідентифіковано.
2) Якщо M-m=k-1 і ранг матриці А дорівнює К-1, то рівняння точно ідентифіковано.
3) Якщо M-m>=k-1 і ранг матриці А менше К-1, то рівняння неідентифіковане.