Функція Диріхле та її властивості - Дипломна робота

Дипломна робота - Математика та статистика

Інші дипломи на тему Математика та статистика

Міністерство освіти та науки РФ

Федеральне агентство з освіти

Сибірський Федеральний Університет

з математичного аналізу

Функція Діріхле та її властивості

Виконала: студентка гр. М-26

Красноярськ 2008 р.

Функція, яка набирає значення 1, якщо аргумент раціональний, і 0, якщо аргумент ірраціональний:

функція дирихле математичний аналіз

була запроваджена німецьким математиком П.В. Дирихле як приклад функції, вільної від аналітичного завдання значення.

Область визначення – (-∞; +∞); область значення – 0,1;

Функція Дирихле немає межі у жодній точці, оскільки у будь-якій околиці будь-якої точки речової прямий містяться як раціональні, і ірраціональні числа (отже, як нулі, і одиниці функції).

Це своє чергу означає, що функція розривна по всій числової прямий (причому всі точки розриву - другого роду), і її графік зобразити неможливо.

Також у жодній точці речової осі цієї функції немає похідної.

Функція Діріхле служить прикладом функції, яка не інтегрується в сенсі Рімана, але інтегрується по Лебегу. Інтеграл Лебега від функції Діріхле на будь-якому числовому проміжку може бути легко знайдений, він завжди дорівнює нулю. Це з того, що міра Лебега безлічі раціональних чисел дорівнює нулю.

Зупинимося на деяких властивостях докладніше.

Функція Діріхле не має межі в жодній точці:

Скористаємося запереченням критерію Коші: функція D не має межі в точці а, якщо функція не визначена в околиці точки а, або знайдеться число ε > 0 тау будь-якому околиці U(а) знайдуться точки x, x ∈ U(а), x, x ≠ a такі, що буде виконано нерівність: D(x) - D(x) ≥ ε.

Перше умова виконано, т.к. область визначення функції Діріхле - вся числова пряма.

Так як у будь-якій околиці будь-якої точки а знаходяться як раціональні, так і ірраціональні числа, то покладемо x ∈ ℚ, x ∉ ℚ. Тоді D(x) =1, D(x) = 0. Візьмемо ε - будь-яке число, що належить напіввідрізку (0, 1], отримаємо:

Так як точка a - довільна, то в жодній точці числової прямої немає межі для функції Діріхле.

Аналогічно можна показати відсутність межі праворуч та ліворуч.

Функція розривна у кожній точці

За визначенням безперервності D(x) безперервна у точці а, якщо = D(a), але функція Дирихле немає межі, отже розривна у кожному точці.

Або за прямим визначенням розривності: функція D(x) розривна в точці а якщо існує число ε0 > 0, що для будь-якого δ > 0 знайдеться точка хδ така, що

a - хδ 0 ∃ x, x ∈ U(0), x, x ≠ 0 : ≥ ε.

Підберемо такі x, x що x, x 0 для будь-якого розбиття R відрізка [a,b], що SR - sR ≥ ε. (SR і sR - верхня та нижня суми Дарбу).

---