ФУНКЦІОНАЛЬНІ ІНТЕГРАЛ definition of ФУНКЦІОНАЛЬНІ ІНТЕГРАЛ and synonyms of ФУНКЦІОНАЛЬНІ
Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії
Функціональний інтеграл(континуальний інтеграл, інтеграл з траєкторій, фейнманівський інтеграл з траєкторій) - запис або результат функціонального інтегрування (інтегрування з траєкторій). Знаходить найбільше застосування у квантовій фізиці (квантової теорії поля, Теорії струн і т. д.) та статистичної фізики, а також при вивченні низки класів стохастичних процесів взагалі. Використовується в математиці, хоча доказ коректності самого визначення функціонального інтеграла в загальному випадку поки що не отримано.
p align="justify"> Під функціональним інтегруванням формально мається на увазі обчислення інтеграла деякого функціонала Ф по простору функційx(t)або якомусь підмножині [1] такого простору:
,
який визначається як межа (кінцевомірного) інтеграла по простору деяких кінцевих апроксимацій функцій 'x(t)' при прагненні розмірності цих апроксимацій до нескінченності; звичайний і найпростіший спосіб полягає у розгляді функції 'x' на кінцевій множині точок , визначаючи тоді функціональний інтеграл у найпростішому випадку рівномірного розбиття, яким можна і обмежитися, як
де під на увазі відповідна апроксимація функціонала Ф[x], інтегрування ж мається на увазі окремо по від до (у разі фіксованих і за ними інтегрувати не потрібно).
Коректність цього визначення перебуває під питанням у тому сенсі, що не доведено навіть для багатьох з тих випадків, які представляють фізичний інтерес, не кажучи вже про більш загальну постановку питання, саме існування межі (зокрема, його однаковість при виборі різних типів розбиття; більше, у ряді прикладів різні типидають різний результат) і немає в багатьох випадках способу вказівки чітких критеріїв вибору «правильного» типу розбиття, який призведе саме до потрібного результату, а значить коректність визначення міри інтегрування не доведена навіть для багатьох випадків, які представляють фізичний інтерес, принаймні у звичному значенні.
Також серйозну складність становить точне обчислення таких інтегралів (за винятком гауссового випадку).
Проте вже те, що точно обчислюються хоча б інтеграли гауссового типу, дає дуже багато для застосування методу функціонального інтегрування. Зокрема, цей результат можна прийняти за визначення функціонального інтеграла для цього випадку і довести, що, будучи таким певним, він дійсно має властивості інтеграла: допускає інтегрування частинами, заміни змінних і т. д. [2]
«Фізичний зміст» функціонального інтеграла зводиться зазвичай до того, щоб обчислити суму (суперпозицію) деякої величини (зазвичай це ймовірність для класичної статфізики або амплітуда ймовірності для квантової механіки) по «всім» траєкторіях (тобто за всіма доступними класичними частинками у разі броунівського руху і з усіх, які можна уявити, у разі квантової механіки).
Зміст
Основне застосування
Звичайне випадкове блукання здатне породжувати при переформулюванні інтеграл траєкторіям з певним дією. Це загалом порівняно очевидно у найпростіших випадках.
Було показано, що подібний спосіб породження континуального інтеграла зі звичайною дією працює і в двовимірному випадку для отримання дії для струни (двовимірного об'єкта, враховуючи тимчасовий вимір).
Фізичні аналогії
Аналогією інтеграла по траєкторіях дляточкової частки є статистична сума (статистична вага) полімерної нитки. [3]
Обчислення
Точне обчислення
Як згадувалося вище, точне обчислення функціонального інтеграла виду
деkможе бути чисто уявним у квантовому випадку або дійсним у разі класичної дифузії, можливо лише у випадку, коли він відноситься до гауссівського типу, тобто коли діяSквадратично поx(лагранжіан квадратичний поxта його похідним, або, можливо, ще в деяких подібних випадках: головне, щобSбуло квадратичною формою, в речовинному випадку негативно визначеною ).
Спосіб зводиться до написання дискретного варіанту, відповідно до визначення на початку статті. Потім (звичайні) інтеграли, що входять до формули, точно беруться (як гаусові), і тоді можна перейти до межі.
Наближене обчислення
Чисельні методи
Перша поява інтегралів по траєкторіях відноситься, мабуть, до робіт Ейнштейна і Смолуховського уточнити з теорії броунівського руху.
Основи математичної теорії таких інтегралів пов'язані з роботами Вінера 1920-х. Проте досі сувора і досить повна їхня математична теорія зустрічається із суттєвими труднощами (пов'язаними з питанням коректного введення заходу на просторі функцій, з проблемою доказу незалежності межі від типу розбиття у загальному випадку).
У 1933 році (в роботі «Лагранжіан у квантовій механіці») Дірак запропонував ідею використання інтегралу з траєкторій у квантовій механіці.
Фейнман наприкінці 1940-х реалізував цю програму, розробивши формалізм континуального інтеграла, який виявився вкрай плідним у теоретичній фізиці. Це означало появутехнічно нового (що мав — крім суто технічних — до того ж низку інтуїтивних переваг) методу побудови квантових теорій, який згодом став чи не найпопулярнішим серед теоретиків. Вже Фейнман з урахуванням фомалізму континуального інтеграла побудував таку базову техніку квантової теорії поля, як діаграми Фейнмана.
Надалі використання континуального інтеграла ставало дедалі популярнішим, а починаючи з деякого моменту стало, напевно, найпопулярнішим способом квантування. За допомогою нього було отримано такі фундаментальні результати, як, наприклад, доказ перенормованості теорії Янга - Міллса (Фаддєєвим та Поповим).