Геометрія Лобачевського
ПЕРВУШКІН БОРИС МИКОЛАЄВИЧ
ЧОУ "Санкт-Петербурзька Школа "Тет-а-Тет"
Лобачевська геометрія - геометрична теорія, заснована на тих же основних посилках, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельних, яка замінюється на аксіому про паралельних Лобачевського.Евклідова аксіома про паралельні сказано: на цій прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з цією прямою в одній площині і не перетинає її. У Лобачевського геометрія замість неї приймається така аксіома: через точку, що не лежить на даній прямій, проходять принаймні дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її. Здавалося б, ця аксіома суперечить надзвичайно звичним уявленням. Проте як ця аксіома, так і вся Лобачевська геометрія має цілком реальний зміст. Лобачевського геометрія була створена і розвинена Н. І. Лобачевським, який вперше повідомив про неї в 1826. Лобачевська геометрія називається неевклідовою геометрією, хоча зазвичай терміну «неевклідова геометрія» надають ширший зміст, включаючи сюди та ін. теорії, що виникли слідом за Лобачевського геометрія а також засновані на зміні основних посилок евклідової геометрії. Лобачевська геометрія називається спеціально гіперболічною неевклідовою геометрією (на противагу еліптичній геометрії Рімана).
Відповідно, рівними називаються фігури всередині кола, що перекладаються одна в одну такими перетвореннями. Тоді виявляється, що будь-який геометричний факт, описаний такою мовою, представляє теорему або аксіому Лобачевського геометрія.всередині кола, лише переказане у зазначених термінах. Евклідова аксіома про паралельні тут явно не виконується, тому що через точку О, що не лежить на даній хорді а (тобто «прямий»), проходить скільки завгодно не перетинають її хорд («прямих») (наприклад, b, b`). Аналогічно, Лобачевського геометрія у просторі може бути визначена як геометрія всередині кулі, виражена у відповідних термінах («прямі» — хорди, «площини» — плоскі перерізи нутрощі кулі, «рівні» фігури — ті, які перекладаються одна в одну перетвореннями, що переводять кулю сам у себе і хорди у хорди). Таким чином, Лобачевська геометрія має цілком реальний зміст і так само несуперечлива, як геометрія Евкліда. Опис тих самих фактів у різних термінах чи, навпаки, опис різних фактів у тих самих термінах представляє характерну рису математики. Вона ясно виступає, наприклад, коли та сама лінія задається у різних координатах різними рівняннями чи, навпаки, одне й те саме рівняння у різних координатах представляє різні лінії.
Виникнення геометрії Лобачевського
Джерелом Лобачевського геометрія послужило питання про аксіому про паралельні, яка відома також як V постулат Евкліда (під цим номером твердження, еквівалентне наведеній вище аксіомі про паралельні, фігурує у списку постулатів у «Початках» Евкліда). Цей постулат, зважаючи на його складність у порівнянні з іншими, викликав спроби дати його доказ на підставі інших постулатів.
Лобачевського геометрія вивчає властивості «площини Лобачевського»(у планіметрії) та «простору Лобачевського» (у стереометрії). Площина Лобачевського - це площина (безліч точок), в якій визначені прямі лінії, а також рухи фігур (разом з тим - відстані, кути іпр.), що підкоряються всім аксіомам евклідової геометрії, за винятком аксіоми про паралельні, яка замінюється зазначеною вище аксіомою Лобачевського. Подібним чином визначається простір Лобачевського. Завдання з'ясування реального сенсу Лобачевського геометрія полягала у знаходженні моделей площини та простору Лобачевського, тобто у знаходженні таких об'єктів, у яких реалізувалися відповідним чином тлумачені положення планиметрії і стереометрії Лобачевського геометрії.
Наведемо кілька фактів геометрії Лобачевського, які відрізняють її від геометрії Евкліда та встановлені самим Лобачевським
1) У Лобачевського геометрія не існує подібних, але нерівних трикутників; трикутники рівні, якщо їх кути дорівнюють. Тому існує абсолютна одиниця довжини, тобто відрізок, виділений за своїми властивостями, подібно до того, як прямий кут виділений своїми властивостями. Таким відрізком може бути, наприклад, сторона правильного трикутника з цією сумою кутів.
2) Сума кутів будь-якого трикутника менше p і може бути як завгодно близькою до нуля. Це безпосередньо видно на моделі Пуанкаре. Різниця p - (a + b + g), де a, b, g - кути трикутника, пропорційна його площі.
3) Через точку О, що не лежить на даній прямій а, проходить нескінченно багато прямих, що не перетинають та перебувають з нею в одній площині; серед них є дві крайні b, b`, які і називаються паралельними прямою а в сенсі Лобачевського. У моделях Клейна (Пуанкаре) вони зображуються хордами (дугами кіл), що мають з хордою (дугою) а загальний кінець (який за визначенням моделі виключається, тому ці прямі не мають спільних точок) (рис. 1,3). Кут її між прямою b (або b`) і перпендикуляром з Про на а - т.з. кут паралельності - у міру видалення точки О відпрямий зменшується від 90 ° до 0 ° (у моделі Пуанкаре кути в звичайному сенсі збігаються з кутами в сенсі Лобачевського, і тому на ній цей факт можна бачити безпосередньо). Паралель b з одного боку (а b` з протилежною) асимптотично наближається до а, а з іншого - нескінченно від неї видаляється (у моделях відстані визначаються складно, і тому цей факт безпосередньо не видно).
4) Якщо прямі мають загальний перпендикуляр, то вони нескінченно розходяться в обидва боки від нього. До будь-якої з них можна відновити перпендикуляри, які не досягають іншої прямої.
5) Лінія рівних відстаней від прямої немає пряма, а особлива крива, звана еквідистантою, чи гиперциклом.
6) Межа кіл нескінченно збільшується радіуса не є пряма, а особлива крива, звана граничним колом, або орициклом.
7) Межа сфер радіусу, що нескінченно збільшується, не є площиною, а особлива поверхня — гранична сфера, або орисфера; чудово, що у ній має місце евклідова геометрія. Це слугувало Лобачевському основою висновку формул тригонометрії.
8) Довжина кола не пропорційна радіусу, а зростає швидше.
9) Чим менша область у просторі або на площині Лобачевського, тим менші геометричні співвідношення в цій галузі відрізняються від співвідношень евклідової геометрії. Можна сміливо сказати, що у нескінченно малої області має місце евклідова геометрія. Наприклад, що менше трикутник, то менше сума його кутів відрізняється від p; чим менше коло, тим менше відношення її довжини до радіусу відрізняється від 2p, і т. п. Зменшення області формально рівносильне збільшенню одиниці довжини, тому при безмежному збільшенні одиниці довжини формули Лобачевського геометрія переходять у формули евклідової геометрії. ЄвклідоваГеометрія є в цьому сенсі "граничний" випадок Лобачевської геометрії.
Лобачевського геометрія продовжує розроблятися багатьма геометрами; у ній вивчаються: вирішення завдань на побудову, багатогранники, правильні системи фігур, загальна теорія кривих і поверхонь тощо. Ряд геометрів розвивали також механіку у просторі Лобачевського. Ці дослідження не знайшли безпосередніх застосувань у механіці, але дали початок плідним геометричним ідеям. Загалом Лобачевського геометрія є великою областю дослідження, подібно до геометрії Евкліда.