Геометрія Рімана
У 1846 роціРіман Георг Фрідріх Бернхард вступив до Геттінгенського університету. Юний студент слухав лекції видатного німецького математика Карла Гауса. У Берлінському університеті Бернхард Ріман відвідує лекції К. Якобі з механіки та П. Діріхле з теорії чисел. Знання здобутих цих геніальних вчених згодом будуть розвинені Ріманом. У Геттінгенському університеті Ріман співпрацював з талановитим фізиком В. Вебером. Завдяки Веберу Ріман зацікавився проблемами математичного природознавства. У 1851 р. Ріман захистив докторську дисертацію «Основи загальної теорії функцій однієї комплексної змінної». У 1857 стає професором Геттінгенського університету. Лекції професора Рімана лягли основою низки нових курсів таких, як математичної фізики, теорії тяжіння, електрики і магнетизму, еліптичних функцій.
Науково-дослідні праці Бернхард Рімана вплинули на розвиток математики наприкінці XIX і на початку XX століть.
Вже в докторській дисертації Ріманом було закладено основи геометричного спрямування теорії аналітичних функцій. Видатний математик і геометр Ріман ввів звані римановы поверхні, які зіграли значної ролі щодо багатозначних функций. Більше того, їм було розроблено теорію конформних відображень, а також представлено основні ідеї топології, вивчено умови існування аналітичних функцій усередині областей різного виду та багато іншого.
Методи, розроблені Ріманом знайшли широке застосування в теорії функцій алгебри та інтегралів, з аналітичної теорії диференціальних рівнянь, зокрема, рівнянь, що визначають гіпергеометричні функції, з аналітичної теорії чисел. Наприклад, Ріман був вказаний зв'язок розподілу простих чисел звластивостями дзета-функції, а саме: з розподілом її нулів у комплексній галузі — так звана гіпотеза Рімана, проте її справедливість ще не доведена
У 1854 році у своїй знаменитій лекції "Про гіпотези, що лежать в основі геометрії" Ріман дав загальну ідею математичного простору або "різноманітності", включаючи функціональні та топологічні простори. Тут Ріман розглядав геометрію як вчення про безперервні n-мірні різноманіття, тобто сукупності будь-яких однорідних об'єктів. Узагальнивши результати К. Гауса по внутрішній геометрії поверхонь, Ріман сформулював поняття лінійного елемента, так званого диференціалу відстані між точками різноманіття. Головним досягненням вченого Рімана стало створення нової геометрії.
Ріманова геометрія - це розділ диференціальної геометрії, об'єктом вивчення якої, головним чином, є риманові різноманіття. Ріманові різноманіття — це гладкі різноманіття з додатковою структурою, римановою метрикою, тобто з вибором евклідової метрики на кожному просторі, що гладко змінюється від точки до точки.
Підрозділом риманової геометрії є геометрія загалом, яка виявляє зв'язок світових якостей риманова різноманіття (наприклад, топологія чи діаметр) та її локальних якостей (наприклад, обмежень на кривизну).
Основними елементами тривимірної риманової геометрії є точки, прямі та площини.
У ріманової геометрії мають місце такі пропозиції: через кожні дві точки проходить одна пряма, кожні дві площини перетинаються по одній прямій, кожні дві прямі, що лежать в одній площині, перетинаються (в одній точці), точки на прямій розташовані в циклічному порядку (як і прямі, що лежать в одній площині і проходять через однуточку). Таким чином, вимоги аксіом ріманової геометрії, що відносяться до конгруентності, забезпечують вільні рухи фігур по площині і в просторі Рімана, як на площині, так і в просторі Евкліда.
Метричні властивості площини Рімана «у малому» збігаються з метричними властивостями звичайної сфери, а саме: для будь-якої точки площини Рімана існує частина площини, що містить цю точку, ізометрична деякій частині сфери; радіус R цієї сфери - той самий для всіх площин даного простору Рімана. Число К = 1/R 2 називається кривизною простору Рімана. Слід зазначити, що, чим менше До, тим ближчі властивості фігур цього простору до евклідових.
«В цілому» властивості площини Рімана відрізняються від властивостей цілої сфери в наступному: на площині Рімана дві прямі перетинаються в одній точці, а на сфері два великі кола, які виступають як прямі у сферичній геометрії, перетинаються у двох точках; пряма, що лежить на площині, не поділяє цю площину, таким чином, якщо пряма а лежить у площині a, то будь-які дві точки площини a, що не лежать на прямій а можна з'єднати відрізком, не перетинаючи прямий а .
Таким чином, Ріман побудував другий різновид неевклідової геометрії на противагу геометрії Лобачевського.
Унікальні ідеї та методи, запропоновані Ріманом відкрили нові шляхи для розвитку математики та знайшли застосування у механіці та фізиці. Розвитку риманової геометрії послужило створення італійськими вченими Річчі-Курбастро та Леві-Чівіта тензорного числення.