Геометрія сферичних різноманітностей
Основна мета курсу - розглянути найчастіше зустрічаються в математиці приклади сферичних різноманітностей (такі як різноманіття прапорів і торичні різноманіття) і вивчити їх геометрію (наприклад, описати множення в кільці когомологій). Ми побачимо, що багато геометричних інваріантів сферичних різноманітностей гарно виражаються в термінах багатогранника Ньютона, який можна пов'язати з різноманіттям. Спочатку теорія багатогранників Ньютона була розвинена для торичних різноманітностей, але виявилося, що її можна перенести і на більш загальні різноманіття. Це дає єдиний підхід до вивчення геометрії багатьох, на перший погляд дуже різних, різноманіття (наприклад, кільця когомологій різноманіття повних прапорів і торичних різноманіття мають дуже схожі описи через багатогранники).
Програма:
- Різноманіття прапорів: проектні простори, грасманіани, різноманіття повних прапорів. Клітини та цикли Шуберта. Кільця когомологій різноманіття повних прапорів: уявлення Бореля. Обчислення Шуберта: формула П'єрі-Шевалле, оператори розділених різниць.
- Торичні різноманіття: комплексні тори, афінні та проектні простори, роздуття проективних просторів. Багаточлени Лорана та багатогранники Ньютона. Теореми Кушніренко та Бернштейна-Хованського про кількість загальних нулів багаточленів Лорана з даними багатогранниками Ньютона. Кільця когомологій гладких проективних торичних різноманіттів: уявлення Пухликова-Хованського.
- Порівняння різноманіття прапорів і торичних різноманітностей. Багатогранник Гельфанда-Цетліна як багатогранник Ньютона для різноманіття прапорів. Узагальнення торичних різноманітностей: чудові компактифікації Де Кончіні-Прочезі, регулярні компактифікації редуктивних груп. Теорема Казарновського-Бріона (узагальнення теоремиКушніренко). Багатогранник Ньютона регулярної компактифікації.