Ізоморфізм грат, підграти та ідеали, handmath
Аматорська математика - своїми руками
Визначення
Дві грати та ізоморфні, якщо існує така взаємно однозначна відповідність , при якому
Підмножина ґрат називається підрешіткою, якщо воно замкнуте щодо операцій і .
Підмножина ґрат називається нижнім сегментом, якщо воно задовольняє властивості
Непорожній нижній сегмент ґрат називається ідеалом, якщо він замкнутий щодо операції .
Теорема про ізоморфізм
Незважаючи на те, що всі визначення абсолютно стандартні, ізоморфізми грат мають досить приємні властивості. Вважатимемо, що на ґратах задані звичайним способом відношення часткового порядку. Відображення двох частково впорядкованих множин називається монотонним, якщо воно зберігає порядок між елементами. Тепер саме формулювання:
Теорема. Бієкція між гратами і є ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли і є монотонними відображеннями.
Доказ.
- Нехай бієкція - ізоморфізм. Тоді якщо , то, за визначенням відношення порядку, , отже, . Аналогічно отримуємо.
- Нехай і монотонні відображення. Тоді і, отже, є нижньою межею. Припустимо, що ця нижня межа не точна, тобто існує деяке , тоді через монотонність , звідки і , тобто , а значить . Аналогічно доводиться, що , що завершує доказ того, що ізоморфізм.
Інше визначення нижнього сегмента
Дане вище визначення нижнього сегмента виглядає як визначення недоїдеалу і найменування нижній сегмент здається невиправданим. Насправді ж, якщо — нижній сегмент грати, а то, а значить. Тобто нижній сегментразом з будь-яким своїм елементом містить усі елементи решітки, менші за нього. Навпаки, якщо деяке підмножина грати містить разом із кожним своїм елементом будь-який менший його елемент, то візьмемо будь-які і розглянемо , тоді є нижнім сегментом решітки в нашому визначенні.
Решітка нижніх сегментів
Нижні сегменти можна виділяти у ґратах, а й у довільних частково упорядкованих множинах. Якщо взяти два нижні сегменти деякої частково впорядкованої множини , то якщо і , то або (тоді ), або (тоді знову ж таки). Якщо ж, то, отже. З іншого боку, отже. Разом, . Виходить, що перетин та об'єднання двох нижніх сегментів є нижнім сегментом. З властивостей об'єднання та перетину укладаємо, що безліч усіх нижніх сегментів довільної частково впорядкованої множини утворює грати.
До речі, формально порожня множина також є нижнім сегментом. Безліч всіх непустих нижніх сегментів частково впорядкованої множини позначається і є гратами в тому випадку, якщо є найменший елемент (у цьому випадку будь-який непустий нижній сегмент буде містити найменший елемент, і перетин двох непустих нижніх сегментів буде також непустим).
Головні ідеали
Головним ідеалом ґрат, породженим елементом, називається безліч. Очевидно, що — це найнижчий сегмент. Справді, якщо, а, то, тобто. Також, якщо , то і , тобто . До того ж . Отже, головний ідеал у нашому визначенні — це справді ідеал. Більше того, можна визначити головний ідеал на манер алгебри. Будь - який елемент головного ідеалу має властивість , а отже . Це означає що .
Ґрати ідеалів
Якщо взяти два ідеали, то їх перетин також,очевидно, буде ідеалом (доказ того, що він замкнутий щодо операцій приблизно такий самий нудний, як і для нижніх сегментів). Перетин двох ідеалів не порожній, оскільки , , а це означає, що .
В цілому досить очевидно, що безліч ідеалів, упорядковане за теоретико-множинним включенням є грати, хоча в загальному вигляді друга операція (не перетин) і виглядає як щось досить-таки епічне.
Підграти головних ідеалів
Для головних ідеалів операції у решітці всіх ідеалів можуть бути виражені дуже простим способом через операції над елементами, що породжують.
Розглянемо два основних ідеалу та й якийсь елемент, що належить їхньому перетину. Тоді з одного боку, а з іншого, тоді. Назад, якщо , то , тобто і аналогічно . Це доводить, що .
Тепер розглянемо певний елемент, що належить. Нехай тоді, а значить і. Аналогічно, якщо , то . Це означає, що ідеал є верхня межа (відносно вкладення множин) пари . Доведемо, що цей кордон точний. Нехай і ідеал. Тоді, зокрема. Однак якщо, то звідки негайно, і. Тобто ідеал є точна верхня грань пари.
Отже, головні ідеали утворюють підграти у ґратах усіх ідеалів. І більше того, що найцікавіше, ґрати основних ідеалів ізоморфні вихідних ґрат ( ).