Ізоморфізм лінійних просторів, Аналітична геометрія
Визначення 4.3.Двалінійні просториL і L' називаютьізоморфними, якщо існуєлінійне біоактивне відображенняА: L → L'. При цьому саме відображення А називаютьізоморфізмом лінійних просторівL і L'.
Як випливає з даного визначення, ізоморфізм єлінійний операторнульовогодефектуі максимальногорангу. Прикладом ізоморфізму лінійного простору єтотожний оператор.
Теорема 4.2.Двакінцевомірні лінійні просториізоморфні тоді і тільки тоді, коли вони мають однаковурозмірність.
◄ Нехай лінійні простори L та L' мають однакову розмірність n. Ми доведемо ізоморфність цих лінійних просторів, побудувавши відображення А: L → L', що є ізоморфізмом. Для цього виберемо довільнібазиb = (b1 . bn) в лінійному просторі L і е = (e1 . n) в лінійному просторі L'. Будь-якийвекторх ∈ L може бутирозкладений у базисіb, тобто. представлений у вигляді х = bх, де х – стовпець координат цього вектора в базисі b. Вектору х ∈ L поставимо у відповідність вектор ех ∈ L ', який у базисі лінійного простору L' має ті ж координати, що і вектор х у базисі b. Задане таким чином відображення A: L → L' є лінійним оператором. Справді, якщо взяти довільні вектори х,у ∈ L зі стовпцями координат x, у то
А(х + у) = е(x + у) = ех + еу = Ах + Ау,
оскільки прискладання векторівїх координати складаються. Так само примноженнявектора х зі стовпцем координат х на довільнечислоλ отримуємо
A(λx) = е(λx) = λ(еx) = λ(Ax),
де знову-таки використані правила множення вектора на числокоординати.
Лінійний оператор А єін'єктивним, тому що рівність Ах = Ау означає, що ех = еу або х = у в силу єдиності розкладання вектора за базисом. Тому х = у.
Лінійний оператор А єсюр'єктивним, так як будь-який вектор у ∈ L' з координатами у базисі е є образом вектора х = bу з тими ж координатами у, що і у, але щодо "свого" базису b. Лінійне, ін'єктивне та сюр'єктивне відображення, за визначенням 4.3, і є ізоморфізмом. Отже, лінійні простори L і L' ізоморфні, при цьому ізоморфізм є побудований нами лінійний оператор А.
Припустимо, що лінійні простори L і L' ізоморфні і нехай відображення А: L → L' є відповідним ізоморфізмом. Уn-вимірному лінійному просторіL виберемо деякий базис b = (b1 . bn) і доведемо, щосистема векторіве = (Ab1 . Abn), що складається з образів базисних векторів, є базисом в L'.
По-перше, система векторів є лінійно незалежна. Візьмемо довільнулінійну комбінаціюцієї системи векторів з деякими коефіцієнтами х1, . хn і прирівняємонульовому вектору0' в L':
Ліва частина рівності є образом деякого вектора х:
x = x1b1 +. + хnbn, координатами якого у вибраному базисі b є коефіцієнти лінійної комбінації. Так як відображення А ін'єктивно, а нульовий вектор з L' є образом нульового вектора L, укладаємо, що x = 0, оскільки Аx = 0'. Отже,
а це можливо, лише якщо всі коефіцієнти лінійної комбінації дорівнюють нулю.
По-друге, будь-який вектор у ∈ L' можна представити у вигляді лінійної комбінації системи векторів е. Справді, оскільки відображення А сюр'єктивно, вектор є образом деякого вектора x, що має в базисі bстовпець координат х. Тоді
і ми отримуємо розкладання у системі векторів е, коефіцієнтами в якому є координати вектора х в базисі b.
Система векторів є лінійно незалежна, і в ній можна розкласти будь-який вектор лінійного простору L '. Отже, ця система є базисом L'. При цьому кількість векторів збігається з кількістю векторів у базисі b лінійного простору L, отже, розмірності просторів L і L' збігаються. ►
Слідство 4.1.Всі n-вимірні лінійні простори ізоморфнілінійному арифметичному просторуR n .
Побудований у доказі теореми 4.2 ізоморфізм пов'язані з вибором базисів у лінійних просторах L і L'. Якщо в тій чи іншій ситуації ми можемо вважати, що базис у лінійному просторі фіксований, то замість абстрактного лінійного n-вимірного простору можна використовувати "стандартний" лінійний арифметичний простір R n . Усі міркування та викладки в лінійному арифметичному просторі мають більш конкретний та інтуїтивно зрозумілий характер. Але вважати базис у лінійному просторі фіксованим не завжди прийнятно, тому не можна вважати ідентичними довільні n-мірні лінійні простори. Зазвичай ототожнюють лінійні простори, між якими існує "природний" ізоморфізм, не пов'язаний із вибором того чи іншого базису. Наприклад, як лінійні простори тотожні лінійний простір матриць типу m × n і лінійний арифметичний простір R mn , оскільки між ними виникає ізоморфізм, якщо встановити відповідність між елементами матриці типу m × n та компонентами mn - мірного арифметичного вектора. Так само можна не розрізняти лінійний простір рядків довжини n і лінійний простір стовпців висоти n.
Вказане ототожненнялінійних просторів дозволяє записувати вектори лінійного арифметичного простору в залежності від ситуації і як матриці-рядки, і як матриці-стовпці. Нагадаємо, що елементами n-вимірного лінійного арифметичного простору є впорядковані сукупності з n чисел. Порядок чисел у кожній такій сукупності можна задавати різними способами, і запис її в рядок або стовпець - лише дві можливості з безлічі способів.
Приклад 4.6.У лінійному просторі К3[х] багаточленів змінного х ступеня не вище трьох елементів 1, x, x 2, х 3 утворюють базис. Цьому базису відповідає ізоморфізм між К3[х] і R 4 при якому многочлену a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 зіставляється арифметичний вектор (a0, a1, а2, а3).