Як обчислюються напруги, Клуб користувачів ANSYS
Звідки беруться напруження? Проводячи розрахунки за допомогою ANSYS, чи справді ви розумієте, звідки і як програма обчислює величини та контури напруг, якими можна судити про міцність конструкції?
Коли ми запускаємо статичний кінцево-елементний розрахунок, програма вирішує систему рівнянь виду:
Маючи прикладені навантаження, програма, що реалізує метод кінцевих елементів, обчислює переміщення у вузлах. Тепер, знаючи переміщення вузлів, необхідно обчислити напругу. Для того щоб зрозуміти як це зробити, потрібно розібратися, як складається матриця жорсткості. Матриця жорсткості складається шляхом компонування матриць жорсткості кожного елемента. Матриці жорсткості кожного елемента обчислюється з принципу віртуальної роботи. Простіше кажучи, принцип віртуальної роботи каже, що віртуальна (дуже мала) зміна внутрішньої енергії деформації компенсується роботою зовнішніх сил. Зміну енергії деформації за обсягом можна записати у вигляді:
Можна замінити напругу виразом, що містить деформацію:
де [D] - матриця, що зв'язує напруги та деформації.
Далі деформації можна замінити виразом, що містить переміщення:
Матриця, що зв'язує деформації з переміщеннями, обчислюється функції форми елементів. Функція форми елемента визначає, як змінюються рухи всередині елемента.
Після підстановки двох останніх виразів у перше, отримуємо:
Інтеграл вирішується чисельно у певних точках елемента. Ці точки називаються точками інтегрування або гаусовими точками (integration points або Gauss points).
Малюнок 1 – Розташування точок інтегрування у чотирикутних елементах
Тепер повернемося до обчислення напруги з вузловихпереміщень. Деформації обчислюються із вузлових переміщень за допомогою матриці [B] переміщень-деформацій. Далі напруги обчислюються на основі деформацій за допомогою матриці [D] деформацій-напруг. Обчислення обох цих матриць проводиться тільки в точках інтегрування, тому і деформації з напругою обчислюються також у точках інтегрування.
Однак найчастіше нас цікавлять напруги у вузлах моделі. У цьому випадку є два варіанти: можна просто скопіювати напруги з точок інтегрування в найближчі вузли, а можна провести екстраполяцію напруги з точок інтегрування за допомогою функції екстраполяції. Пам'ятайте, що напруга в матеріалі обчислюється в точках інтегрування. Пластичність, повзучість також обчислюються на основі напруги в точках інтегрування. Тому в задачах із пластичністю можна побачити напругу, що перевищує межу плинності, але без пластичних деформацій.
Уявіть випадок, коли напруга в точках інтегрування дорівнює 99% межі плинності. Поки воно нижче межі плинності, пластичні деформації не обчислюються. Тепер якщо провести екстраполяцію напруги з точок інтегрування у вузли, може вийти, що вони перевищують межу плинності (напруги можуть стати, наприклад, 101% від межі плинності). Таким чином, виходить, що напруги вже перевищили межу плинності, але пластики ще немає. Це сигнал про те, що сітка кінцевих елементів занадто груба.
Наступне про що варто згадати, це те, що коли ми переглядаємо напруги у вузлах, бачимо усереднені величини. Це означає, що для кожного елемента, що відноситься до вузла, напруга обчислюється в точках інтегрування, а потім екстраполюється (або копіюється) у вузли. Тому величина вузлової напруги – середня величинасусідніх елементів із загальними вузлами.
Рисунок 2 – Середня напруга у вузлі
Чим дрібніша сітка, тим різниця між величинами, отриманими в сусідніх елементах, стає меншою. Таким чином, відмінність між опосередкованими та безпосередніми напругами у вузлах є одним з критеріїв щільності сітки.