Як побачити симетрію коренів у задачі 18

Абсолютно необов'язково, що в задачі C5 попадеться коріння, симетричне щодо початку координат. Тому що інакше всі варіанти ЄДІ з математики виявилися б схожими один на одного.

Але ми з вами знаємо, що таке коріння є.:) І сьогодні навчимося виділяти їх незалежно від зовнішнього вигляду завдання.

Коли ви вирішуєте квадратне рівняння щодо синуса чи косинуса, то у відповіді виходить багато окремих множин, працювати з якими вкрай незручно. Тому сьогодні ми навчимося об'єднувати їх, навчимося шукати симетрію в наборах коренів та спрощувати собі відповіді, а, отже, і роботу з безліччю.

Геометричний підхід

Спочатку позбавляємося квадрата. Як завжди, якщо функція у квадраті дорівнює якомусь числу, то сама функція дорівнює або кореню з цього числа, або «мінус» кореню з цього числа:

Вирішуємо рівняння, щоб знайти коріння виразу:

У контексті нашого сьогоднішнього уроку всі числа належать безлічі цілих чисел.

Ось ми і отримали дві множини. Давайте відзначимо ці числа на тригонометричному колі та знайдемо коріння:

Наша безліч зводиться до чотирьох точок. А тепер зауважимо, що $\frac\!\!\pi\!\!\text< >>$ і $-\frac\!\!\pi\!\!\text< >>$ симетричні щодо початку координат. У їх симетрії легко переконатися, якщо відняти з одного числа інше. Наприклад:

Іншими словами, відстань між ними по колу дорівнює $\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$.

Те саме можна сказати про $-\frac\!\!\pi\!\!\text< >>$ і $\frac\!\!\pi\!\!\text< >>$ - вони симетричні один одному щодо початку координат або, іншими словами, можна сказати, що вони лежать наодному діаметрі. Якщо йти по нашому колу, то відстань між ними дорівнює $\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$, а це означає, що якщо ми візьмемо точку $\frac\!\!\pi\!\!\text< >>$, а потім крокуємо від неї на $\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$, то отримаємо $-\frac\!\!\pi\!\!\text< >>$. Потім ще зробимо крок на $\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$ - знову потрапимо в $\frac\!\!\pi\!\!\text< >>$, але вже $+2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$. І так постійно додаючи $\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$, ми охопимо всі точки виду $\frac\!\!\pi\!\!\text< >>+2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$ і $-\frac\!\!\pi\!\!\text< >>+2\text< >\!\!\pi\!\!\text< k>$. Таким чином, ми можемо записати це коріння рівняння у вигляді однієї множини:

Тепер розберемося із другим набором. Тут все те саме: \[-\frac\!\!\pi\!\!\text< >>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >k\]. Таким чином, ми можемо просто спереду поставити ±, і це буде наша остаточна відповідь:

Замість чотирьох множин (або двох) ми отримали одну. У цьому полягає сенс симетрії коренів. Надалі, коли нам потрібно буде щось зробити з цим корінням, ми вже будемо працювати не з 4 наборами, а всього лише з двома.

Знову ж таки використовуємо наші викладки і позбавляємося квадрата:

І другий вираз:

Зазначаємо ці числа на колі:

З малюнка стає очевидним, що ці точки лежать на одному діаметрі - він є віссю $Oy$, віссю синусів. Це означає, щоб отримати з \[\frac\!\!\pi\!\!\text< >>>+2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n\]\[-\frac\!\!\pi\!\!\text< >>+2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >k\], досить зробити крок з$\frac\!\!\pi\!\!\text< >>>$ до $-\frac\!\!\pi\!\!\text< >>>$ на $\text< >\!\!\pi\!\!\text< >$. Таким чином ми об'єднуємо дві множини коренів і отримуємо:

Знову рахуємо за нашими викладками:

Переходимо до другого виразу:

Ось ми і отримали чотири набори коренів. Давайте відзначимо їх:

Ще дуже важливо, що між $\frac\!\!\pi\!\!\text< >>>$ і $\frac\!\!\pi\!\!\text< >>$ кут дорівнює 90 °. Також і між $\frac\!\!\pi\!\!\text< >>$ і $-\frac\!\!\pi\!\!\text< >>$ кут дорівнює 90 °. Нарешті, і між $\frac\!\!\pi\!\!\text< >>>$і $\frac\!\!\pi\!\!\text< >>$ кут теж дорівнює 90 °. Це означає, що всі чотири точки ми можемо звести до однієї точки виду[[frac\!\!\pi\!\!\text< >>>+\frac\!\!\pi\!\!\text< >n>\].

На перший погляд ця конструкція, ці обчислення можуть здатися дуже складними. Геометричний підхід справді розуміють не всі учні. Однак варто трохи потренуватися, і ви будете клацати квадратні рівності як горішки і знаходити симетрію між корінням.

Алгебраїчний підхід

Отже, друга частина уроку про оптимізацію та поєднання коренів квадратних тригонометричних рівнянь. Вище ми обговорювали геометричний підхід, коли відзначали все коріння кола і шукали будь-які закономірності з допомогою методу симетрії. На цей раз використовуватимемо лише алгебраїчний підхід. Все, що нам потрібно для вирішення, — це формула косинуса подвійного кута:

Давайте трохи перетворимо її:

Але, як ми знаємо, ці викладки можна переписати і по-іншому, а саме:

Давайте висловимо звідси $2^>x$:

Ось ці дві конструкції зараз ми і використовуватимемо, щоб встановитисиметрію між корінням.

Вирішуємо реальні завдання

Скористаємося основною властивістю пропорції:

\[\left( 1+\cos 2x \right)\cdot 4=6\]

Це нормальна формула, з допомогою якої вирішуються подібні конструкції. Але у нас відомо $2x$, а не $x$, тому розділимо обидві сторони на 2:

Застосовуємо нашу другу конструкцію:

Знову отримали пропорцію, перемножуємо хрест-навхрест:

Знову застосовуємо наші викладки:

Якщо ви порівняєте ці відповіді з тим, що ми отримали у попередній частині цього уроку, то виявите, що відповіді абсолютно однакові. Ми отримали той самий результат, використовуючи різні підходи — геометричний за допомогою тригонометричного кола та алгебраїчний за допомогою формул зниження ступенів.

До речі, чому їх так називають? Дивіться, був $^>x$, а став просто $\cos 2x$. Те саме і тут: був $^>x$, а став просто $\sin 2x$, знову ж таки без квадрата. Ці викладки скорочують обсяг обчислень, але, щоб скористатися ними, їх потрібно знати. Крім того, на останньому кроці скрізь виконується поділ на 2. Тут теж дуже часто припускаються помилки. Потрібно ділити обидва доданки на два. Кожен із доданків потрібно розділити на два, і тоді рівняння щодо синуса та косинуса стає елементарним.

Ключові моменти

Вирішуючи рівняння, квадратні щодо синуса або косинуса, ви постійно натикатиметеся на громіздкі відповіді, працювати з якими (наприклад, для відбору коренів) абсолютно неможливо. Однак за бажання можна значно спростити ці конструкції. І сьогодні ми поговоримо про два методи спрощення:

Графічний це той метод, коли ми відзначаємо відповіді на тригонометричному колі і намагаємося знайти закономірності.
Алгебраїчний - метод, коли ми переходимо відквадратного рівняння до лінійного за допомогою формул пониження ступенів.

Ви можете використовувати будь-який прийом — відповідь вийде та сама. Комусь (наприклад, мені) зручніше відзначати крапки на тригонометричному колі, а комусь простіше раз і назавжди запам'ятати викладки зниження ступеня (які, до речі, зовсім нескладні).

Симетрія коренів на тригонометричному колі

Тут усе банально. Вирішуємо рівність, відзначаємо отримане коріння на колі, а потім шукаємо якусь закономірність у їхньому розташуванні. Наприклад, коріння може відстояти друг від друга половину вихідного періоду, або розташовуватися симетрично щодо початку координат.

Формули зниження ступенів

Це унікальна фішка, яка працює лише у тригонометричних рівняннях. Рівняння, квадратні щодо синуса чи косинуса, легко зводяться до рівносильних лінійних. Для цього потрібно знати формули косинуса подвійного кута: