Як вирішити задачу про точку всередині тетраедра

Взяли якийсь тетраедр ABCD. Він може бути будь-якої форми, це ви самі підбираєте.

І мені здається, що для правильної відповіді потрібно взяти саме певну форму тетраедра, тільки я не знаю яку.

Можливо, з невеликою основою і великою висотою, а може, навпаки, з невеликою висотою.

Потрібно знайти всередині тетраедра (не на поверхні, а саме всередині!) таку точку О, щоб сума відстаней AO + BO + CO була більшою, ніж сума AD + BD + CD.

Інакше кажучи, сума довжин ребер у тетраедра ABCO повинна бути більшою, ніж у тетраедра ABCD.

Завдання це дійсно має рішення, ось тільки вивести загальну формулу мені на жаль не під силу, хоча в окремому випадку я можу пояснити, таке може вийти. Наприклад візьмемо опуклий тетраедр у якого ребро АD більше суми ребер ВD і СD. Нехай у нас ребро АD=5, а ребра ВD=СD=1 це допоможе при міркуванні. Для простоти можна взяти АС=АВ=5. Побудуємо всередині нього тетраедр АВСО, з тією умовою, що висота опущена з точки на будь-яку з граней АС або АВ розбиває їх на нерівні відрізки точкою До, причому АК=1, КС=4. Це для видимої сторони, для невидимої теж міркування. Тоді ми маємо, що АТ буде гіпотенузою трикутника АОК і, отже, більше 1, а ОС - гіпотенуза трикутника КОС і більше 4. У тетраедрі АВСD сума граней дорівнює 7, а в тетраедрі АВСО виходить більше 9.

точку

Звичайно, це окремий випадок, але принцип побудови зрозумілий.