Компактифікація, Математика, FANDOM powered by Wikia

У загальній топологіїкомпактифікація— операція, яка перетворює довільні топологічні простори на компактні.

Формально компактифікація простору $ X $ визначається як пара $ (Y, f) $ , де $ Y $ компактно, $ f:X \to Y $ гомеоморфізм на свій образ $ f (X) $ і $ f (X) $ щільно в $Y$.

На компактифікаціях деякого фіксованого простору $X$ можна запровадити частковий порядок. Покладемо $ f_1 \leq f_2 $ для двох компактифікацій $ f_1: X \to Y_1 $ , $ f_2: X \to Y_2 $ , якщо існує безперервне відображення $ g: Y_2 \to Y_1 $ таке, що $ g f_2 = f_1 $ . Максимальний (з точністю до гомеоморфізму) елемент у цьому порядку називаєтьсякомпактифікацією Стоуна-Чехаі позначається $ \ beta X $ . Для того, щоб у просторі $X$ існувала компактифікація Стоуна-Чеха, що задовольняє аксіомі відокремленості Хаусдорфа, достатньо, щоб $X$ задовольняло аксіомі відокремленості $T_> $.

Одноточкова компактифікація(абокомпактифікація Александрова) влаштована в такий спосіб. Нехай $ Y = X \ cup \ $ і відкритими множинами в $ Y $ вважаються всі відкриті множини $ X $ , а також множини виду $ O \ cup \ $ , де $ O \ subseteq X $ має компактне ( $ $ $ ) доповнення. $f$ береться як природне вкладення $X$ у $Y$. $ (Y, f) $ тоді компактифікація, причому $ Y $ хаусдорфово тоді і тільки тоді, коли $ X $ хаусдорфово і локально компактно.

Приклади одноточкової компактифікації

$\R\cup\$ з топологією, сконструйованою як зазначено вище, є компактним простором. Не важко довести, що якщо два простори гомеоморфні, то відповідні одноточкові компактифікації гомеоморфні. Зокрема, т.к. коло на площині без однієї точкигомеоморфна з $\R$ (приклад гомеоморфізму - стереографічна проекція), ціле коло гомеоморфна з $\R\cup\$. Аналогічно, $ \mathbb R^n \cup \ $ гомеоморфно з n-вимірною гіперсферою.

---