Критерій несумісності системи лінійних нерівностей

Перейдемо до розгляду неоднорідних систем лінійних нерівностей.

ТЕОРЕМА 1.8. Система нерівностей

несумісна тоді і лише тоді, коли існують дійсні числа, що задовольняють умовам

Доведення. Припустимо, що система (1) несумісна, і доведемо, що існують дійсні числа, які відповідають умовам (2). Нехай

Розглянемо однорідну систему нерівностей

зі змінними Нерівність

є наслідком системи (4). Справді, якщо довільне рішення системи (4), то

бо при вектор був рішенням системи (4), а вектор - рішенням вихідної системи (1), що суперечило б припущенню про несумісність цієї системи.

Оскільки нерівність (5) є наслідком системи (4), то, за теоремою Мінковського, вектор можна подати у вигляді невід'ємної лінійної комбінації векторів

тобто існують дійсні числа такі, що

З огляду на (3) звідси випливає, що

тобто виконуються умови (2).

Припустимо тепер, що існують дійсні числа , які відповідають умовам (2), і доведемо, що система (1) несовместна. Розглянемо нерівність

є невід'ємною лінійною комбінацією нерівностей системи (1). Згідно з пропозицією 1.1, ця нерівність є наслідком системи (1). Через (2) нерівність (7) можна записати у вигляді

Ця нерівність немає рішень і є наслідком системи (1), тому система (1) несовместна.

Нехай для ,

ТЕОРЕМА 1.9. Нерівність

є наслідком нерівності

тоді і лише тоді, коли спільна система

Теорема 1.9 безпосередньо випливає із пропозиції 1.1 та теореми 1.8.

ТЕОРЕМА 1.10. Система

(Де b - стовпець), спільна тоді і тільки тоді, коли для всякого .

Замінивши в теоремі 1.9 відповідно на ми переконаємося, що теорема 1.10 є інше формулювання теореми 1.9.

Копіювання інформації зі сторінки дозволяється лише із зазначенням посилання на даний сайт

---