Курсова робота Дослідження лінійних систем керування
"Дослідження лінійних систем управління"
Дисципліна «Теорія автоматичного управління»
Світ технічних систем різноманітний. Проте математика та фізика виявили у ньому прості паралелі. Можна виділити ряд енергетичних доменів, яким належать ті чи інші системи чи їх модулі. Це електричний, магнітний, тепловий, гідравлічний, акустичний, механічний та ротаційний домени. Так само існують два фундаментальні постулати. Перший постулат свідчить, що матерія не може з'явитися ні звідки і не може зникнути нікуди. Другий постулат стверджує те саме щодо енергетичного потенціалу. Ці постулати мають окремі формулювання для кожного енергетичного домену. Наприклад, для електричного домену це перший та другий закони Кірхгофа. Кожен із енергетичних доменів характеризується двома фізичними величинами першого та другого роду. У разі електричного домену – це електричний струм і напруга відповідно. Ці парні фізичні величини, у кожному енергетичному домені, пов'язані між собою законом Ома у відповідному формулюванні (існують: електричне, магнітне, теплове, гідравлічне, акустичне, механічне та ротаційне опору). Також слід зазначити, що добуток фізичних величин першого і другого роду завжди є потужністю.
Представлена система паралелей дозволяє зрозуміти, що математичний опис процесів руху координат систем, що належать різним енергетичним доменам, подібно, і може бути предметом вивчення однієї науки, яка називається «Теорія систем автоматичного регулювання». Більше того, останніми роками набуто успішного досвіду застосування методів цієї теорії при вирішенні завдань управління.в економічних, фінансових та інших нетехнічних системах.
Типові динамічні ланки
Типовою динамічною ланкоюСАУ є складова частина системи, яка описується диференціальним рівнянням не вище другого порядку. Ланка, як правило, має один вхід та один вихід. За динамічними властивостями типові ланки поділяються на такі різновиди: позиційні, диференціюючі та інтегруючі.
Позиційними ланкамиє такі ланки, у яких в режимі, що встановився, спостерігається лінійна залежність між вхідними і вихідними сигналами. При постійному рівні вхідного сигналу сигнал виході також прагне постійного значення.
Диференціюючимиє такі ланки, у яких в режимі вихідний сигнал пропорційний похідної за часом від вхідного сигналу.
Інтегруючимиє такі ланки, які мають вихідний сигнал пропорційний інтегралу за часом від вхідного сигналу.
Ланка вважається заданою і певною, якщо відома його передатна функція або диференціальне рівняння. Крім того, ланки мають часові та частотні характеристики.
Тимчасові характеристики лінійних САУ
Тимчасові характеристики показують поведінку системи з моменту подачі на неї впливу у вигляді одиничної ступінчастої або одиничної імпульсної функції, до моменту переходу системи в режим, що встановилася. За цими характеристиками судять про поведінку системи у перехідному режимі та про точність роботи системи. Відповідно до вхідного сигналу розрізняють дві перехідні характеристики:
1. Перехідна характеристика системиh(t).Ця функція визначається зміною вихідної величини системи (окремого елемента системи) пристрибкоподібну зміну вхідної величини(подачі на вхід1 (t))при нульових початкових умовах.
2. Імпульсна перехідна характеристикаω(t)(функція ваги). Ця функція визначається зміною вихідної величини системи (окремого елемента) при додатку на вхід системи одиничного імпульсу (t) при нульових початкових умовах.
Для отримання перехідної та імпульсної характеристики потрібно в диференціальне рівняння зв'язку підставити як вхідний сигнал одиничну ступінчасту функцію для знаходженняh(t)і розв'язати рівняння, що вийшло, відносно h(t), а потім для того щоб отриматиω(t)достатньо продиференціювати h(t).
У разі реальної експлуатації САУ часто виникає необхідність визначити реакцію на періодичні сигнали, тобто. визначити сигнал на виході САУ, якщо на один із входів подається періодичний сигнал гармонійної форми.
Вирішення цієї задачі можливо отримати шляхом використання частотних характеристик. Частотні характеристики можуть бути отримані експериментальним чи аналітичним шляхом. При аналітичному визначенні вихідним моментом є одна з передатних функцій САУ (з управління або збурювання). Можливе також визначення частотних характеристик виходячи з передавальних функцій розімкнутої системи та передавальної функції помилково.
Якщо задана передавальна Функція W(р), шляхом заміни p→jω отримуємо частотну передатну функцію W(jω), яка є комплексним виразом тобто. W(jω)=U(ω)+jV(ω), де U(ω) – дійсна складова, а V(ω) – уявна складова. Частотна передатна функція може бути представлена у показовій формі:
-АЧХ системи,показує, з яким коефіцієнтом передачі система передає на вихід гармонійний сигнал з фіксованою частотою;
-ФЧХ системи показує скільки вихідний сигнал з фіксованою частотою затримується чи випереджає по фазі вхідний сигнал.
Таким чином, диференціальне рівняння руху системи пов'язує вхідний та вихідний сигнали (тобто функції часу), ПФ зв'язує зображення Лапласа тих самих сигналів, а частотна ПФ пов'язує їх спектри.
Частотна передатна функція W(jω) може бути представлена комплексної площині. Графічне відображення для всіх частот спектра відносин вихідного сигналу САУ до вхідного, представлених у комплексній формі, буде амплітудно-фазовою частотною характеристикою (АФЧХ) або годографом Найквіста. Величина відрізка від початку координат до кожної точки годографа показує у скільки разів на цій частоті вихідний сигнал більший за вхідний - АЧХ, а зсув фази між сигналами визначається кутом до згаданого відрізка - ФЧХ. При цьому негативний фазовий зсув представляється обертанням вектора на комплексній площині за годинниковою стрілкою відносно позитивної речової осі, а позитивний фазовий зсув представляється обертанням проти годинникової стрілки. Для спрощення графічного представлення частотних характеристик, а також для полегшення аналізу процесів у частотних областях використовуються логарифмічні частотні характеристики: логарифмічна частота амплітуди (ЛАЧХ) і логарифмічна фазова частотна характеристика (ЛФЧХ). При побудові логарифмічних характеристик на шкалі частот замість відкладається lg(ω) і одиницею вимірювання є декада. Декадою називається інтервал частот, що відповідає зміні частоти у 10 разів. При побудов ЛАЧХ на осі ординатодиницею вимірювання є децибел, який є співвідношенням L=20 lg А(ω). Верхня напівплощина ЛАЧХ відповідає значенням А>1 (посилення амплітуди), а нижня напівплощина – значенням А n + a1 p n-1 +… + an = 0
Перехідна складова рішення рівняння у загальному виглядіyni (t) = Ai e α i t * sin(βi t + φi ), де αi ± jβi – корені характеристичного рівняння; Ai, Φi - постійні.
При цьому перехідна складова зі зростанням часу прагне нуля, якщо речові частини коренів αi негативні, в іншому випадку амплітуда коливань перехідної складової зростає.
Мал. 2. Графіки перехідних складових
Пара уявного коріння (αi =0) характеристичного рівняння дозволяє отримати перехідну складову у вигляді автоколивань з постійною амплітудою:
Отримані коріння характеристичного рівняння можуть бути представлені у вигляді точок на комплексній площині.
Мал. 3. Розташування коріння САУ на комплексній площині
Для стійких систем необхідно і достатньо, щоб усі корені характеристичного рівняння лежали ліворуч від уявної осі комплексної площини коренів. Якщо хоча б один речовий корінь або пара комплексних сполучених коренів знаходиться праворуч від уявної осі, то система є нестійкою. Якщо є нульовий корінь або пара чисто уявних коренів, то система вважається нейтральною (що знаходиться на межі стійкості та нестійкості). Таким чином, уявна вісь комплексної площини є межею стійкості.
З метою спрощення аналізу стійкості систем розроблено низку спеціальних методів, які отримали назву критерії стійкості. Критерії стійкості поділяються на два різновиди: алгебраїчні (критерій Гурвіца) та частотні(Критерії Михайлова та Найквіста).
Алгебраїчний критерій стійкості Гурвіца знаходить широке застосування при аналізі САУ. Спочатку з коефіцієнтів рівняння складається матриця головного визначника:
По діагоналі матриці від лівого верхнього кута записуються по порядку всі коефіцієнти рівняння, починаючи з . Потім кожен стовпець матриці доповнюється таким чином, щоб вгору від діагоналі індекси коефіцієнтів збільшувалися, а вниз зменшувалися.
Для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб за всіх кутових визначників (мінорів) були також позитивними.
Останній визначник Гурвіца, як видно з наведеної вище матриці, дорівнює Δn = an n-1 . Тому його позитивність зводиться за Δn-1 >0 до умови an >0. Для систем першого та другого порядку критерій Гурвіца зводиться просто до позитивності коефіцієнтів. Якщо визначник n=0, то система знаходиться на межі стійкості. З умови Δn-1 =0 можна визначити параметри, за яких система знаходиться на межі стійкості, наприклад, критичний коефіцієнт посилення розімкнутої САУ.
Частотний критерій стійкості Михайловапередбачає побудову годографа на комплексній площині. Для побудови годографа з характеристичного рівняння замкнутої системи шляхом підстановки p=jω отримують аналітичний вираз вектора M(jω): M(jω)=a0 (jω) n +a1 (jω) n-1 + … +an
Рівняння є комплексним і може бути подане у вигляді: