Квадратні нерівності

Визначення квадратної нерівності

Квадратною нерівністю називають нерівність виду

$ax^2+bx+c > 0$ (знак нерівності може бути також $

Квадратним нерівність називається т.к. змінна зведена квадрат. Також квадратні нерівності називаютьнерівностями другого ступеня.

$7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – квадратні нерівності.

Як очевидно з прикладу, в повному обсязі елементи нерівності виду $ax^2+bx+c > 0$ присутні.

Наприклад, у нерівності $\frac y^2+\sqrt y>0$ немає вільного члена (додана $с$), а в нерівності $11z^2+8 \le 0$ немає доданку з коефіцієнтом $b$. Такі нерівності також є квадратними, але їх називаютьнеповними квадратними нерівностями. Це означає, що коефіцієнти $b$ чи $с$ дорівнюють нулю.

Методи розв'язання квадратних нерівностей

При розв'язанні квадратних нерівностей використовують такі основні методи:

• графічний;
• метод інтервалів;
• виділення квадрата двочлену.

Спробуй звернутися за допомогою до викладачів

Графічний спосіб

Графічний спосіб розв'язання квадратних нерівностей $ax^2+bx+c > 0$ (або зі знаком $

Дані проміжки і євирішенням квадратної нерівності.

Метод інтервалів

Метод інтервалів розв'язання квадратних нерівностей виду $ax^2+bx+c > 0$ (знак нерівності може бути також $

Рішеннями квадратної нерівності зі знаком $«»$ – позитивні проміжки, зі знаками $«≤»$ і $«≥»$ – негативні та позитивні проміжки (відповідно), включаючи точки, які відповідають нулям тричлена.

Виділення квадрата двочлена

Метод вирішення квадратної нерівності виділенням квадрата двочлена полягає у переході дорівносильній нерівності виду $(x-n)^2 > m$ (або зі знаком $

Нерівності, що зводяться до квадратних

Найчастіше при вирішенні нерівностей їх потрібно призвести до квадратних нерівностей виду $ax^2+bx+c > 0$ (знак нерівності може бути $ нерівностями, які зводяться до квадратних.

Задай питання фахівцям і отримай відповідь вже через 15 хвилин!

Найпростішим способом приведення нерівностей до квадратних може бути перестановка у вихідній нерівності доданків або перенесення їх, наприклад, з правої частини до лівої.

Наприклад, при перенесенні всіх доданків нерівності $7x > 6-3x^2$ з правої частини в ліву виходить квадратна нерівність виду $3x^2+7x-6 > 0$.

Якщо переставити в лівій частині нерівності $1,5y-2+5,3x^2 \ge 0$ складові в порядку зменшення ступеня змінної $у$, то це призведе до рівносильної квадратної нерівності виду $5,3x^2+1,5y-2 \ge 0 $.

При розв'язанні раціональних нерівностей часто використовують приведення їх до квадратних нерівностей. При цьому необхідно перенести всі складові в ліву частину і перетворити вираз, що вийшов, до виду квадратного тричлена.

Привести нерівність $7 \cdot (x+0,5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ до квадратного.

Перенесемо всі складові в ліву частину нерівності:

$7 \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$.

Використовуючи формули скороченого множення та розкриваючи дужки, спростимо вираз у лівій частині нерівності:

Отриману квадратну нерівність далі можна вирішити одним із зазначених вище способів.

Так і не знайшли відповідь на своє запитання?

Просто напиши з чим тобі потрібна допомога

---