Лекції - Стор 14
17. Достатні умови суворого відносного екстремуму та відсутності відносного екстремуму з використанням функції Лагранжа.
1. Довжина кривої, що спрямовується, як межа довжин ламаних, вписаних в неї.
Крива – безперервне відображення проміжку у простір.
, то безліч точок кривої - компакт.
Еквівалентність кривих із курсу диференціальної геометрії.
Крива називається спрямовується, якщо
де - ламані, вписані в
Безперервність кривої, шматкова безперервність, безперервна диференційованість, гладкість, регулярність наявність тригранника Френе і т.п. Усі визначення лежать на совісті студента та Сизого С.В.
Крива спрямовується Позначимо Тоді
безперервна на доказ
Доведемо безперервність у
Якщо не виявилося серед точок поділу, то додамо її до крапок поділу.
Якщо додамо до нерівності довжини інших ланок, то отримаємо
таким чином, якщо не входить до числа
, то переходимо від . Без
обмеження спільності переходимо від до
До вершин додали
. Від цього довжина ламаної не зменшиться.
Теорема Нехай - крива, що спрямовується, Тоді
Тобто Доказ
2. Натуральна параметризація кривої, що спрямовується.
Є крива спрямовується
Довжина кривої є безперервною функцією
. Безліч її значень -
на будь-якому проміжку
має зворотну функцію
3. Обчислення криволінійного інтеграла 1 роду по кривій та його властивості.
- вибір точок, що відповідає розбиттю
То - інтегрована по кривій ,
- Інтеграл першого роду по кривій, позначається
- Натуральна параметризація кривої
Діяти у зворотному порядку. Можна розбивати відрізокпараметризації точками, потім брати, а по точках знаходити.
Вийшло дві, рівні один одному інтегральні суми для двох інтегралів за умови теореми.
Інтегральні суми рівні, отже межі вони мають одночасно. Межі існують одночасно і рівні, отже, інтеграли рівні.
Теорема про адитивність криволінійного інтеграла першого роду визначена на кривій, що спрямовується.
Теорема зв'язок криволінійного інтегралароду з певним
Проведено доказ для гладкої кривої, але він легко може перетворитися на доказ для кривої, якщо застосувати теорему про адитивність інтеграла 1 роду по кривій для кривої.
4. Обчислення криволінійного інтеграла 2 роду за кривою та її властивості. Робота, циркуляція вектор уздовж кривої.