Лекції з алгебри Однозначність розкладання слідує
p align="justify"> Однозначність розкладання випливає з того, що Рг є безліч всіх векторів, що анулюються ПОЛИНОМОМ gi.
Пропозиція доведена повністю.
З пропозиції 8 відразу випливає справедливість наступної теореми:
Теорема 9. Простір, у якому діє оператор, розкладається на пряму суму примарних підпросторів.
Достатньо застосувати пропозицію 8 до канонічного розкладання g- = ф^і. q>™k мінімального полінома g на ненаведені множники.
Підпростір, що складається з усіх векторів, що анулюються поліномом ф^«, назвемо повним примарним підпростором,
відповідним примарному дільнику ф ^; полінома g.
8. Розкладання примарного простору у пряму суму циклічних примарних підпросторів.
Теорема 10. Примарний простір може бути представлений у вигляді прямої суми циклічних примарних підпросторів.
Доведення. Застосуємо метод математичної індукції за розмірністю простору. За основу індукції можна прийняти призмарні циклічні простору. Зробимо індуктивне припущення про те, що для примарних просторів, раз-
ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ У ВЕКТОРНОМУ ПРОСТОРІ
мірність яких менша за розмірність розглянутого простору 5, теорема вірна.
Нехай мінімальний поліном дорівнює фт. Тоді всі елементи простору анулюються дільниками цього полінома, тобто ступенями ф з показниками, що не перевищують т. При цьому знайдеться елемент, що анулюється поліномом фт і не анулюваний поліномом фт_1, інакше всі вектори анулювали б поліномом фт_1, що суперечить мінімальності полі. Нехай Ui – такий вектор і P1 – циклічний підпростір, породжений вектором u\. Якщо Pi = 5, теорема для простору Sдоведено. Нехай Pi ф 5. Розглянемо факторпростір SfPi. Його вектори, очевидно, анулюються поліномом фт, так що 5/P1 марно і має розмірність меншу ніж 5. Тому до 5/Pi можна застосувати індуктивне припущення. Нехай
SfPi = P2®. Є P4 (рисочки зверху букв позначають, як завжди, що розглядаються об'єкти, що становлять факторпространство), й2, — вектори з 5/Р, що породжують P2, Pk, і фт2, ф"1*— анулятори векторів й2, . Зрозуміло, що nit ^ т при всіх / Покажемо, що в класах U2, .jk можна знайти елементи «2, .Uk, мінімальними ануляторами яких будуть ті ж фт2, фт *.
Справді, нехай «2 — будь-який вектор із W2. Тоді f^jSP, так що (ртги2 = F (si) W1, де F є деяким поліном. Але фт анулює всі вектори в 5, так що Попередня 129 130 131 132 133 134 .. 168 >> Наступна
Кондиціонери Mitsubishi Electric за найнижчими цінами! Гарантія Доставка