Лекції з математики

непарних функцій у симетричних межах), тому обрано непарний момент найменшого порядку, не тотожно рівний 0.

 Визначення Коефіцієнт асиметрії випадкової

.величини - числова характеристика асиметрії розподілу

Якщо A 0 то розподіл симетрично щодо мат.ожидания.

 Зауваження Третій центральний момент – служить для характеристики асиметрії розподілу.

Для оцінки поведінки кривої розподілу поблизу точки максимуму (для визначення того, наскільки «крутою» буде його вершина) застосовується центральний момент 4-го порядку

 Визначення Ексцес – числова характеристика крутості розподілу

який використовується для

Показники гостроверхості фактичного розподілу по відношенню до нормального розподілу. Для оцінки ексцесу розподілу використовується четвертий центральний момент для двох типів даних

 Зауваження Четвертий центральний момент – слугує для характеристики крутості розподілу.

Імовірність потрапляння дискретної випадкової величини у заданий інтервал

Нехай заданий закон розподілу деякої випадкової величини X. Визначимо ймовірність того, що випадкова величина потрапить в інтервал a, b

де - вибирається так, щоб

x найближче значення

сл.величини зліва від b.

1. Дайте визначення дискретної випадкової величини.

2. Якими способами можна встановити дискретну випадкову величину?

3. Функція розподілу. Властивості функції розподілу. Графік функції розподілу.

4. Щільність розподілу. Властивості щільності розподілу

5. Знаходження функції розподілу за відомою густиною розподілу.

6. .Дайте визначення математичного очікування дискретної випадкової величини. Назвіть властивості математичного очікування.

7. Визначення дисперсії дискретної випадкової величини. Формула обчислення дисперсії. Властивості дисперсії.

Закони розподілу дискретної випадкової величини

Нехай ймовірність деякої випадкової події A дорівнює p , де 0 p 1. X - сл.вел. - Число наступів сл. події

А в одному випробуванні. X - сл.вел може прийняти одне з двох значень

0 – якщо сл. подія A не настала, 1 – якщо вона сталася.

Закон розподілу ймовірностей сл. вел., що має двоточковий розподіл можна записати наступним чином:

P X 0 1 p P X 1 p

Математичне очікування цієї випадкової величини буде

M X 0 1 p 1 p p

D X M X 2 M 2 X

M X 2 0 1 p 1 p p D X p p 2 p 1 p

Двоточковий розподіл рідко застосовується безпосередньо, але його можна як суми сл. вел., мають двоточковий розподіл.

Розподіл вибіркового значення ознаки

Розглянемо приклад. Нехай в університеті навчаються N студентів. Як вибіркову ознаку візьмемо кількісну ознаку розмір взуття. Позначимо його x k.

після обстеження всіх студентів отримали наступні результати, які занесені в таблицю, де 1-ий стовпчик- x k ,

Другий - кількість студентів з даним кількісним ознакою (розміром взуття):

Імовірність того, що y навмання студента, що вибирається, розмір взуття дорівнюватиме x i , обчислимо за класичним

де Mi - кількість студентів з даним розміром взуття.

Отримаємо ряд розподілу ДСВХ – розміру взуття всіх студентів університету:

Приклад: Підкидають два кубики. Скласти низку розподілуДСВХ сума очок на двох кубиках.

Вибіркова кількісна ознака сума очок на кубиках. Загальна кількість результатів за правилом множення n 6 6 36 . Різні значення ДСВХ: всі натуральні числа від 2-х до 12. Знайдемо кількість сприятливих результатів для кожного значення ДСВХ:

X 2: m 1; X 3: m 2; X 4: m3; X 5: m4; X 6: m 5; X 7: m 6; X 8: m 5; X 9: m 4;

X 10: m3; X 11: m 2; X 12: m 1 .

Сума всіх mi дорівнює 36.

, обчислимо ймовірності та заповнимо

За одержаним рядом розподілу можна побудувати

розподілу, використовуючи методи та формули описані в попередньому параграфі.

Біномінальний розподіл (закон Бернуллі)

Даний розподіл описує дуже характерну для практики ситуацію послідовного здійснення низки незалежних дослідів з однаковими можливими наслідками при кожному з них.

Наприклад, якщо проводиться група пострілів за однією і тією ж метою, нас цікавить не результат кожного пострілу, про загальну кількість влучень.

Подібно до династій монархів, існувала знаменита династія вчених Бернуллі - їх навіть звали, як королів: Якоб I, Йоганн I, Данило I.

Ці троє - математики та механіки - здобули найбільшу популярність. Загалом у сім'ї було 11 дітей

Через 200 років та частина книги, що належала до закону великих чисел, була перекладена українською мовою Я.В.Успенським і видана в Петербурзі за редакцією академіка А.А.Маркова.

Нехай ймовірність настання деякої випадкової події A при одиничному випробуванні дорівнює p виробляється n

- Випробувань і в кожному з них випадкова подія наступити з ймовірністю p .

Окремі випробування незалежні одне від одного. Це означає, що наступ (або ненаступ)випадкової події A в цьому випробуванні не впливає на ймовірність настання цієї події у наступних випробуваннях.

Знайдемо ймовірність P X m – ймовірність того, що

подія A настане у m випробуваннях.

Для того щоб X m необхідно і достатньо, щоб подія A настала у m випробуваннях, і не настала у n m випробуваннях.

Оскільки за умови випробування незалежні, то відповідно до теореми про множення ймовірностей незалежних подій

p m 1 p n m - ймовірність того, що подія A настала

у m випробуваннях, і не настало у n m випробуваннях, якщо заздалегідь встановлено, у яких випробуваннях подія відбудеться, а в яких ні.

Але оскільки, байдуже станеться подія A в 1, 3 чи 5 випробуванні – аби загальне число наступів його було m , необхідно врахувати все порядки наступу події A .

Число таких порядків є З n m

Таким чином, закон розподілу буде

P X m C n m p m 1 p n m

де m 0,1, , n , n -відома кількість всіх проведених випробувань, m -кількість тих випробувань, в яких відбулася подія A , p -імовірність появи події A в одному

 Визначення ДСВХ, яка може приймати лише цілі невід'ємні значення з ймовірністю

P n m P X m C n m p m q n m ,

де p q 1, m 0,1,2,3, , n називається розподіленою по

біномінальному закону, а p - параметром біномінального

Ряд розподілу випадковоївеличини, підпорядкованої біноміальному закону, можна подати у такому вигляді: