ЛЕКЦІЇ_ПО_ВИЩОЇ_МАТЕМ_Голубєв - Стор 9
=З; тоді до=1, С=2. Значить
8. Зауваження про невизначеність типу «1»
Можливе розкриття невизначеності 1 іншому вигляді.
u v = lim e x x 0
приклад 1 . lim (sin 1/x+cos 1/x) x . Тип межі 1 .
Оскільки sin 1/x+cos 1/x= 1/x+ 1+0(1/x)
lim (sin 1/x+cos 1/x)=1, то
Лекція 10. НЕПРЕРИВНІ ФУНКЦІЇ.
Однією з фундаментальних властивостей функції (поряд з межею) є безперервність функції в
1. Визначення безперервності функції у точці.
Припустимо, що нам задана функція f(x), визначена в деякій ділянці X=, причому вважаємо, що гранична точка х=х є внутрішньою точкою множини Х.
Зауваження. При визначенні межі функції не було обов'язково, щоб гранична точка х=х 0 належала безлічі області визначення f(x).
Визначення. Функція f(x) називається безперервною в точці х=х 0 якщо вона має цю в точці межу
рівний значенню f(x 0), тобто. lim f (x) = f (x 0).
Визначення по Коші. Функція f(x)
безперервна в точці х = х 0
якщо по >0, ( )>0 таке, що за всіх
Зауваження. У визначенні безперервності опущена умова х х 0 порівняно з визначенням межі. Визначення по Гейні. Функція f(x) безперервна в точці х = х 0 якщо для будь-якої сходиться до х 0
послідовності x n x 0 маємо f(x n ) f(x 0 ).
Зауваження. Тут проти визначенням межі опущено умова x n x 0 .
Важливо відзначити , що рівність f(x)=f(x 0 ) можна записати у вигляді
Тобто для безперервних функцій можна переставити місцями символи «функція» і «межа», що дуже важливо для обчислення меж.
Визначення безперервності функції f(x) у точціх = х 0 можна надати іншу форму : дамо аргументу х в точці х = х 0, збільшення тоді різниця y являє собою збільшення функції в точці х = х 0, що відповідає приросту аргументу х, тобто. уf(x 0 )=f(x 0 +
З визначення безперервності f(x) слід, що з х0 (х х 0 ) має місце у0 (f(x) f(x 0 )), тобто.
Отже, безперервна у точці функція характеризується тим, що нескінченно малому збільшенню аргументу
х відповідає нескінченно мале збільшення функції
1. y = f (x) = x 2; у будь-якій точці х = х 0
y=(x 0 + x+ x 2 очевидно y 0 при х0.
у будь-якій точці х 0 безперервна, так як x 0 = = 2 sin x cos (x 0 + х); cos(x 0 + х ) 1, a
sin х Зауваження. Визначення безперервності функції f(x) у точці х 0 зводиться до виконання трьох умов:
Існування f(х) у точці х=х 0: f(x 0);
Безперервність функції в ізольованій точці.
Визначення. Точка х=х 0 Х називається ізольованою точкою цієї множини, якщо існує околиця точки х 0 , у якій крім точки х=х 0 немає жодної точки множини Х.
Визначення. Функція f(x) називається безперервною в ізольованій точці х = х 0 якщо вона приймає в ній кінцеве значення.
2. Безперервність функції справа – зліва.
Досі при визначенні безперервності функції в точці х = х 0 ми вважали, що гранична точка х 0 є внутрішньою точкою множини Х. Нехай тепер гранична точка х = х 0 є граничною точкою множини Х і належить цій множині.
Наприклад, граничними точками відрізка [a, b] будуть точки а та b.
Поняття безперервності функції f(x) у точці х=а вводиться як безперервність справа, а точці х=b - як безперервність зліва, хоча поняття безперервності праворуч - зліва можна запровадити будь-якої точки х 0 Х.
Визначення. Функція f(x) називається безперервною праворуч (ліворуч) у точці х=х 0 якщо правий (лівий) межа функції в цій точці існує і дорівнює значенню функції f(x) в точці х=х 0 , тобто.
Ця функція буде безперервна праворуч у точці х 0 =0, т.к. lim
f(x)=f(x 0 )=1; не буде безперервної зліва в
цій точці х 0 =0, тому що lim
і дорівнює f(x 0 )=f(0)=1. Зазначимо, що у будь-якій іншій точці (х 0 0)
дана функція буде безперервною.
Наприклад. y=sgn sin x 0, якщо
sin x 0; sin х 0; sin x 0.
Ця функція не буде безперервною в точках х=к , кZ як зліва так і праворуч.
3. Точки розриву.
Визначення. Гранична точка х=х 0 області визначення функції y=f(x), у яких порушено властивість безперервності функції, називається точкою розриву цієї функції.
Зауважимо, що безперервність функції y=f(x) у точці х=х 0 порушується, якщо виконується одна з умов:
Функція y=f(x) не визначено у точці х 0 , тобто. немає значення f(x 0 ).
Не має місця рівність
не виконано пункт 1, т.к. ця функція у точці х=0 не визначена.
не виконано пункт 2, т.к. не існує
не виконано пункт 3, т.к.
lim x 2 =0, а f(0)=1.
Точка х=х 0 =0 є точкою розриву всім трьох функцій, наведених як прикладів. Дуже легко помітити, що у прикладах точка розриву має різний характер розриву. У зв'язку з
цим видається необхідним провести класифікацію точок розриву функцій.
4. Класифікація точок розриву.
1. Усунутий розрив.
Визначення. Точка х 0 називається точкою усуненого розриву функції y=f(x), якщо межа функції у точці х=х 0 існує, але значення функції у точці х 0або не існує, або відмінно від межі
У цьому прикладі існує lim f(x)=1, а f(0)=0,
і точка х = 0 для цієї функції є точкою усуненого розриву.
. Розглянемо точку х 0 =0. Як ми пам'ятаємо
=1, але у точці х 0 =0 функція не
є певною, тому в точці х 0 = 0 дана функція зазнає усунути розрив.
Зауваження. Геометрично точки усуненого розриву характеризуються тим, що й змінити значення функції у досліджуваної точці чи довизначити їх у цій точці межею функції у цій точці, то функція стає безперервною.
2. Розрив 1 ого роду (стрибок).
Визначення. Точка х 0 називається точкою розриву першого роду, якщо у цій точці функція y=f(x) має кінцеві, але не рівні один одному правий та лівий межі.
Це слід розуміти як виконання умов:
1. Існує чи ні f(x 0 );
Досліджувана точка х 0 =0: тут
y(0)=0. Значить точка
є точкою розриву 1 ого роду (типу "стрибок").
Досліджувана точка х 0 =0. У цьому пункті функція не визначена. Однак
існують односторонні межі:
а отже дана функція в точці х 0 = 0 терпить
роду (типу "стрибок").
Зауваження. Геометрично розрив першого роду характеризується «стрибком», якщо ми «проходитимемо» за графіком функції через точку х 0 справа наліво чи зліва направо.
3. Розрив 2 ого роду.
Визначення. Точка х 0 називається точкою розриву 2 ого роду функції y=f(x) , якщо в цій точці функція f(x) не має принаймні однієї з односторонніх меж або хоча б одну з односторонніх меж цієї функції в точці х 0 є нескінченним .
x cos(1/x)=0; lim cos(1/x) - немає;
Значить функція у = f (x)терпить у точці х 0 =0 розрив другого роду, т.к. правий її межа немає.
Ця функція в точках х = до / 2, кZ, зазнає розриву другого роду, т.к. обидва односторонні межі в цих точках нескінченні.
5. Безперервність суми, різниці, твору та приватного функцій.
Теорема. Якщо дві функції f(x) і g(x) визначені в області Х і безперервні в точці х 0 Х, то їх сума (різниця), добуток і приватна (за умов g(x) 0, g(x 0 ) 0) є безперервними у точці х = х 0 .
Зауваження. Доказ теореми випливає з відповідних теорем про межі суми (різниці), твору та приватної функції.
6. Безперервність суперпозиції функцій.
Теорема. Якщо функція у = (x) безперервна в точці х 0, а функція z = f (y) безперервна в точці y 0 = (x 0), тоді суперпозиція функцій f і, тобто. функція z = f ((x)) F (x) є безперервною в точці х = х 0 .
Доведення . Так як функція у = (х) безперервна в точці х 0, то для будь-якої послідовності х n сходиться до х 0 маємо у (x n) (х 0) при х n х 0 (за Гейном). З огляду на те, що функція f(y) безперервна в точці y 0 = (х 0 ) також маємо: f(y n ) f(y 0 ) f( (x 0 )) при будь-якій послідовності y n, що сходить до (х 0 )= у 0 .
Нарешті, виберемо довільно послідовність x n, що сходить до х 0 . Тоді послідовність y n = (x n ) буде схожа до (х 0 ), а послідовність z n = f (y n ) = f (( x n )) буде схожа до f (y 0 ) f (( x 0 )). Або для x n x 0 =>
=>F(x n )f( (x n ))=>f( (x 0 ))F(x 0 ). Останнє означає, що функція z = F (x) безперервна в точці х = х 0 (за Гейном).
7. Безперервність функції на множині.
Крім поняття безперервності у точці, існує поняття безперервності функції набезлічі. Визначення. Функція f(x) , х Х, називається безперервною на множині Х, якщо вона є
безперервною в кожній точці цієї множини.
Зауваження. Якщо Х відрізок [, ], то безперервність f(x) у точках і розуміється як безперервність праворуч і ліворуч.
8. Безперервність зворотної функції.
Теорема. Якщо у=f(x) безперервна, суворо монотонна на відрізку [a, b] і f(a)= , f(b)=, причому безліч [ , ] є областю зміни f(x), то на проміжку [, ] визначена зворотна функція яка також є безперервною та монотонною.
Зауваження. Доказ цієї теореми можна знайти у відповідних посібниках з математичного
Важлива роль цієї теореми досить очевидна, коли доводиться доводити безперервність зворотних функцій.
9. Два важливі зауваження.
Зауваження. Монотонна зростаюча або спадна функція може мати в області визначення лише розриви першого роду.
Зауваження. Зазначимо, що функція у=f(x) називається шматково безперервною на проміжку [a, b], якщо вона визначена в кожній точці [a, b], безперервна у всіх внутрішніх точках цього проміжку, крім може бути
кінцевого числа точок, у яких може мати розрив 1 ого роду. Наприклад: