лекція N3
Векторний простір. Лінійні операції над векторами.
Розглянемо тепер безлічКі полеPдовільної природи. Припустимо, що всім елементів зКвизначено операції складання і множення числа зР.Будемо називати елементи зКвекторами, незалежно від своїх конкретної природи.
БезлічКназиваєтьсялінійнимабовекторним просторомнад полемP,
якщо всім векторів зКвизначено операції складання і множення числа зP ,причому виконані такі аксіоми:
А. Кожній парі векторівx, yвідповідає векторx + y, званий сумоюxіy,причому:
- додавання комутативно:x + y = y + x;
- додавання асоціативно:x + (y + z) = (x + y) + z;
- Є єдиний нульовий вектор0такий, щоx +0= xдля будь-якого вектораx;
- для кожного вектораxє єдиний протилежний вектор–x ,такий, щоx +(- x )=0.
В. Кожна пара a ,x,де a - число, аx– вектор, відповідає векторax, званий твором a іx, причому:
- множення на число асоціативно: a(bx)=(ab)x;
С. Операція додавання та множення пов'язані між собою такими співвідношеннями:
- множення на число дистрибутивне щодо складання векторів: a (x + y)= ax+ ay ;
- множення на вектор дистрибутивно щодо додавання чисел: ( a + b )x= ax+ bx.
У будь-якому лінійному просторі для кожного вектораxмає місце рівність0 ×x=0, де у правій частині0означає нульовий вектор, а лівої – число нуль.
У будь-якому лінійному просторі для будь-якого вектораxсправедливе співвідношення
У будь-якому лінійному просторі має місце рівністьa×0=0для будь-якогоa.
З точки зору операцій множення, складання та віднімання формально мають місце всі правила еквівалентних перетворень алгебраїчних виразів у будь-якому лінійному просторі. Надалі ці правила ми вже не обговорюватимемо особливо.
МножинаLлінійного просторуКназивається йоголінійним підпростором, якщо за тих самих операціях, що у просторіК,воно саме є лінійним простором.
Багато, що складається з одного нульового вектора, є лінійним підпростором. Цей підпростір називаєтьсянульовим.
Найменшим підпростором є нульовий, найбільшим – вихідний лінійний простір. Ці два простори називаються тривіальними, решта – нетривіальними.
Кожен лінійний простір у своєму описі містить дві істотно різні частини. По-перше,лінійний простірє сукупність конкретних об'єктів, званихвекторами.По-друге, над цими конкретними об'єктами визначені операції складання та множення на число. Тому можна цікавитися або природою векторів та його властивостями, або властивостями зазначених операцій незалежно від природи елементів.
У всіх практично цікавих випадках побудова та дослідження лінійних просторів здійснюється у два етапи: спочатку, враховуючи природу векторів, визначаютьоперації складання та множення на число, а потім на основі властивостей цих операцій вивчають самі простори. Тому два простори, влаштовані однаково по відношенню до операцій складання і множення на число, можна вважати такими, що мають однакові властивості.
Розглянемо безліч всіх лінійних просторів, заданих над тим самим полемР.Природно запитати, чим схожі і чим різняться між собою ці простори.
Вектори будь-якого класу допускають однозначне уявлення у виглядіпереміщень(тобтоспрямованих відрізків) у геометричному просторі.
У більшості програм вектори з'являються як функції точки в геометричному просторі.
Вектори є спрямованими відрізками у просторі, що мають певну довжину. Вектор - відрізок певної довжини, одна з точок, що обмежують, якого прийнята за початок, а інша - за кінець.
Довжина вектора (модуль) – відстань між точками, що його обмежують.
До векторів відноситься і нуль-вектор, у якого початок і кінець збігаються.
Визначення:Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовуються на одній
прямий або паралельних прямих, тобто якщо існує пряма, якою вони паралельні.
Визначення:Вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній
площині або якщо існує площина, якою вони паралельні. Якщо компланарні вектори мають загальний початок, вони лежать у одній площині.
Визначення:Вектори називаються рівними, якщо вони мають рівні модулі,
колінеарні та спрямовані в один бік. (Якщо вектор спрямований у протилежні сторони при рівних модулях і наявності колінеарності, то вони протилежні).
Вектор можна переноситипаралельно самому собі, поміщаючи його початок у будь-яку
Нехай дані два векториаіb .
1.Візьмемо довільну точку0і побудуємо векторОА= a,потім від цієї точки відкладемо векторОВ= b .Побудуємо цих векторах, як у сторонах, паралелограмOA З B .ВекторОС, що є діагоналлю паралелограма, проведеної з вершини0, і буде сумою векторіва+ b .
2.Від довільної точки0відкладемо векторОА=а,потім від точки А відкладемо вектор>АВ= b.Вектор, що з'єднує початок першого доданку з кінцем другого, буде сумою цих векторівОВ=а+ b .
Властивості складання векторів
I.Додавання векторів комутативно (переміщувальна властивість):
II.Додавання векторів асоціативно (сполучна властивість):
Суму будь-якого кінцевого числа векторів можна побудувати за таким правилом: з довільної точки0відкладається вектор, що дорівнює першому доданку вектору. Наприкінці першого вектора приєднується початок другого, на кінець другого – початок третього тощо. Сумою даних векторів буде вектор, що поєднує початок першого вектора з кінцем останнього.
Різниця векторів– це третій векторс= a - b, сума якого з віднімається векторомbдаєa.
Правило побудови вектора різниці: відкладаємо векториOA = aіOB = bіз загальної точки 0. Вектор, що з'єднує кінці вектора, що зменшуєтьсяaі віднімається вектораb ,і спрямований від віднімається до зменшуваного, і буде різницею векторівaіb.
Якщо векториaіb, відкладених із загальної точки, побудувати паралелограм, то векторOC(одна діагональ паралелограма) дорівнює суміa + b, а векторBA(інша діагональ) дорівнює різниціa - b .