Lektsii_semestra_po_algebre - Стор 13

це клас сполучених елементів елемента x.

Зрозуміло, що Orb (e) = feg. Більше того, j Orb ( x ) j = 1 () x 2 Z( G ), тобто одноелементні орбіти - це в точності елементи центру, оскільки gxg 1 = x для всіх g 2 G рівнозначно тому, що xg = gx всім g 2 G , т. е. з того що x 2 Z( G ).

St(x) = fg j gxg 1 = xg = C(x);

де C(x) = fy 2 G j xg = gxg - Централізатор елемента x 2 G .

Отже, теорема про розбиття на орбіти у разі означає таке.

Теорема 2 (про розбиття на класи сполучених елементів).

Нехай G - група, тоді:

1) група є об'єднанням орбіт — різних класів сполучених елементів, що не перетинаються (тобто відношення сполученості y x, якщо y = gxg 1 , є відношенням еквівалентності );

2) число елементів кінцевої групи G, пов'язаних з елементом x 2 G, дорівнює індексу централізатора C( x ) елемента x 2 G у групі

( оскільки jGj = j Orb ( x ) j j St ( x ) j = f число сполучених з x елементів g j C ( x ) j ) , тобто числу jGj = j C ( x ) j, і є дільником числа jGj.

Вправа 2. Розбиття на класи сполучних елементів у групі підстановок S n визначається типом циклового розкладання циклів довжини r у їх циклових розкладаннях).

ЦЕНТР КІНЦЕВОЇ p-ГРУПИ

Теорема 3. Фактор неабелевой групи з її центру може бути циклічної групою.

Доведення. Припустимо, що це негаразд, тобто. існує деяка неабелева група G така, що G = Z (G) = G = Z - циклічна група. Нехай тоді G = Z = gZ. У цьому випадку будь-який елемент групи Gпредставляється як твори g k z , де z 2 Z .

Розглянемо два довільні елементи групи G - g k z 1 і g l z 2 . Вони комутують, оскільки елементи центру комутують з усіма елементами групи, а ступеня елемента g комутують між собою.

Таким чином, група G - абелева, що суперечить припущенню.

Теорема 4. Нехай G - кінцева p-група, тобто jGj = p k, де p - Просте число, k 2 N . Тоді її центр нетривіальний, тобто j Z (G) j & gt; 1 .

Доведення. Розглянемо розбиття групи G на класи сполучених елементів. Одноелементний клас - це точно елемент центру (один з них feg ). Що містить більше одного елемента клас сполучених елементів містить p l елементів, де l & gt; 1 (як нетривіальний дільник числа jGj = p k). Звідси випливає, що j Z(G) j > 1 (інакше p k = 1 + pq ).

Теорема 5 (про комутативність групи з p 2 елементів). Нехай

G - кінцева група, jGj = p 2 де p - Просте число. Тоді G - Абелева (т. Е. Комутативна) група.

Доведення. З огляду на попередню теорему j Z( G ) j > 1, тобто jZ(G)j = p або jZ(G)j = p2. Але перший випадок ( j Z ( G ) j = p ) неможливий, оскільки тоді jG = Z ( G ) j = p 2 = p = p і тому G = Z ( G ) - циклічна група, що неможливо. Отже, j Z(G) j = p 2, тобто G = Z(G), і тому група G комутативна.

Теорема 6. Нехай G - p-група, jGj = p r , r 1 . Тоді група містить нормальну підгрупу порядку p r 1 .

Доведення. Проведемо індукцію по r. Зрозуміло, що затвердження вер-

але за r = 1. Нехай воно правильне всім k 1.

---