Локальна формула - ПріМат

Визначення багаточлена Тейлора

Локальна формула Тейлора.

Якщо функція визначена в околиці

т. і має в цій околиці похідні до-го порядку включно і в т. Існує похідна n-го порядку, то , (1)

Зокрема, маємо:

За зазначених умов подання (1) єдине.

Якщо т. існує похідна , то залишковий член у формулі (1) може бути взятий у вигляді .

З локальної формули Тейлора (2) Отримуємо наступні 5 важливих розкладів:

Формула Тейлора.

Якщо функція визначена на сегменті і має на цьому сегменті безперервні похідні, існує кінцева похідна, то

(залишковий член у формі Лагранжа), або

(залишковий член у формі Коші)

(Формула Тейлора для многочлена за ступенями).

Зауваження

(ф-ла Тейлора для багаточлена за ступенями

Окремий випадок формули Тейлора називається формулою Маклорена.

Нехай функції f і g у т. такі, що:

Слід очікувати, що функції f і g в околиці т. схожі (графіками). І тоді функцію f локально можна замінити g.

Нас буде цікавити g(x) як багаточлен. Тобто.

Отже, багаточлен Многочлен Тейлора функції f у т. порядку n.

Приклад.

Розкласти багаточлен за ступенями.

Список літератури:

1. Конспект лекцій з математичного аналізу (Лисенко З.М.)

2. Б.П. Демидович, Збірник завдань та вправ з математичного аналізу, видавництво «Наука», головна редакція фізико-математичної літератури, Москва 1972, стор.138-139.

---