Математичне очікування та його властивості - Студопедія
Математичним очікуванням (або середнім значенням)дискретної випадкової величини називається сума творів всіх її можливих значення на відповідні їм ймовірності.
| X | … | |||
| P | … |
Тобто, якщо сл. величина має закон розподілу, то
називається її математичним очікуванням. Якщо сл. величина має нескінченну кількість значень, то математичне очікування визначається сумою нескінченного ряду , за умови, що цей ряд абсолютно сходиться (інакше кажуть, що математичне очікування не існує).
Для безперервної сл. величини, заданої функцією щільності ймовірності f(x), математичне очікування визначається як інтеграла
за умови, що цей інтеграл існує (якщо інтеграл розходиться, то кажуть, що математичне очікування немає).
Приклад 1. Визначимо математичне очікування випадкової величини розподіленої позакону Пуассона. За визначенням
,
Отже, параметр, визначальний закон розподілу пуассонівської випадкової величини дорівнює середньому значенню цієї величини.
Приклад 2. Для випадкової величини, що має показовий закон розподілу , математичне очікування дорівнює
( ):
(в інтегралі межі взяти, з врахуванням того, що f(x) відмінна від нуля тільки при позитивних x).
Приклад 3. Випадкова величина, розподілена за законом розподілуКоші, не має середнього значення. Дійсно
Властивості математичного очікування.
Властивість 1. Математичнеочікування постійної дорівнює самій цій постійній.
Постійна приймає це значення з ймовірністю одиниця і за визначенням М(С)=С×1=С
Властивість 2. Математичне очікування алгебраїчної суми випадкових величин дорівнює сумі алгебри їх математичних очікувань.
Обмежимося доказом цієї якості лише суми двох дискретних випадкових величин, тобто. доведемо, що
Під сумою двох дискретних сл. Величин розуміється сл. Величина, яка набуває значення з ймовірностями
Але
де ймовірність події , обчислена за умови, що . У правій частині останньої рівності перераховані всі випадки появи події, тому дорівнює ймовірності появи події, тобто. . Аналогічно. Остаточно маємо
Властивість 3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їхніх математичних очікувань.
| У | … | |||
| Q | … | |||
| Х | … | |||
| Р | … |
Наведемо докази цієї властивості лише дискретних величин. Для безперервних випадкових величин воно доводиться аналогічно.
Нехай Х та У незалежні та мають закони розподілу
Добутком цих випадкових величин буде випадкова величина, яка приймає значення з рівними ймовірностями, в силу незалежності випадкових величин, . Тоді
Слідство. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування. Так постійна З не залежить від того яке значення прийме сл. величина X, то за якістю 3. маємо
Приклад. Якщо a іb постійні, то М(ах+b)=аМ(х)+b.
Математичне очікування числа появи події у схемі незалежних випробувань.
Нехай виробляється n незалежних дослідів, ймовірність появи події у кожному з яких дорівнює Р. Число появи події у цих n дослідах є випадковою величиною Х розподіленою за біноміальним законом. Однак, безпосереднє обчислення її середнього значення є громіздким. Для спрощення скористаємося розкладанням, яким будемо користуватися надалі неодноразово: Число появи події в n дослідах складається з числа події в окремих дослідах, тобто.
де має закон розподілу (приймає значення 1, якщо подія в цьому досвіді відбулося, і значення 0, якщо подія в цьому досвіді не з'явилося).
| Р | 1-р | р |
Тому
тобто. середня кількість події в n незалежних дослідах дорівнює добутку числа дослідів на ймовірність появи події в одному досвіді.
Наприклад, якщо ймовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,1, то середня кількість влучення в 20 пострілах дорівнює 20×0,1=2.
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:
Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно