математика - Максимальна висота сніговика
Вночі пішов сніг і рівномірно покрив круглий майданчик радіусом два метри шаром висотою $1,8$ сантиметра. Якої максимальної висоти (в сантиметрах) діти можуть зліпити сніговика, якщо вважати, що сніговик – це дві кулі, одна поставлена на іншу. Зміною щільності снігу при скочуванні сніговика знехтувати.
заданий26 Січ '17 18:13
serg55 7.0k ● 28 ● 132 95% прийнятих
Об'єм снігу фіксований. Дві кулі у сумі мають цей обсяг. Сума кубів радіусів (чи діаметрів) стала. Тоді максимум суми досягається при рівних радіусах, що видно з нерівності про середнє: $% \ frac2 \ ge (\ frac2) ^ 3 $ % для невід'ємних чисел. Це окремий випадок нерівності Єнсен для опуклих вниз функцій, і для двох чисел це легко перевірити з тих міркувань, що графік функції розташований нижче його хорди. Але тут все може бути перевірено прямим розкриттям дужок, і виходить рівносильна нерівність $%(x+y)(x-y)^2\ge0$%.
Тепер нехай $%R$% - радіус майданчика, $%h$% - висота снігового покриву. Обсяг двох куль радіусу $%r$% дорівнює $% frac83pi r^3$% за формулою об'єму кулі. Він дорівнює обсягу снігу: $%\pi R^2h$%. Звідси $%r=sqrt[3]$%, а висота сніговика дорівнює $%4r=2sqrt[3]$%. Числа підібрані так, що відповідь виходить "хороша": $%1,2$% м. (Треба не забути перевести висоту снігу в метри.)
відповідь26 Січ '17 18:34
Вітаю
Математика - це спільно редагований форум питань та відповідей для початківців та досвідчених математиків, з особливим акцентом на комп'ютерні науки.
заданий26 Січ '17 18:13
показаний588 разів
оновлено26 Січ '17 18:35