Мавпа та кокосові горіхи (завдання)
Загадка "Мавпа та кокосові горіхи" Кращі шаради, головоломки, завдання та загадки.
Текст набраний за книгою М. Гарднер, "Математичні головоломки та розваги", М., Світ, 1971. Стор. 233.
Мавпа і кокосові горіхи
Ось це завдання у тому вигляді, як її сформулював клерк із розповіді Вільямса.
Протягом 20 років Ульямс продовжував отримувати листи з проханням повідомити відповідь, або з новими рішеннями. В даний час задача про кокосові горіхи належить до найбільш часто розв'язуваних, але найменш піддаються вирішенню діофантових головоломок (термін "діофантове рівняння" походить від імені Діофанта Олександрійського, грецького математика, який вперше докладно досліджував рівняння, що допускають рішення в раціон.
Старіший варіант завдання можна звести до наступних шести невизначених рівнянь.
N = 5A +1, 4A = 5B +1, 4B = 5C +1, 4С = 5D +1, 4D = 5E +1, 4Е = 5F +1 .
За допомогою добре відомих з алгебри прийомів ці рівняння неважко звести до одного діофантового рівняння з двома невідомими: 1024N = 15625F +11529. Це рівняння занадто складно, щоб вирішувати його методом проб і помилок. Існує стандартний метод його вирішення, заснований на дотепному використанні безперервних дробів, проте він призводить до довгих та громіздких вкладок. Ми ж розглянемо тут на перший погляд безглузде і неймовірне, але витончене та просте рішення, в якому використовується поняття про негативне число кокосових горіхів. Це рішення іноді приписують фізика з Кембриджу Полю А. М. Діраку, проте у відповідь на моє запитання професор Дірак написав, що йому рішення повідомив Дж. Г. К. Уайтхед, професор математика з Оксфорда (і племінник знаменитого філософа). Професор Уайтхед у відповідь нааналогічне питання заявило, що він дізнався про рішення від когось ще, і я не сал займатися подальшим розслідуванням.
Незалежно від того, кому першому спало на думку думка про негативні кокосові горіхи, міркувати він міг приблизно так. Оскільки шість разів ділили на п'ять купок, ясно, що додавши число 5 6 (тобто 15 625) до будь-якої відповіді, ми отримаємо іншу, більшу відповідь. Більше того, до вирішення задачі можна додавати кратне число 5 6 (при цьому ми отримаємо нове рішення), і так само з рішення можна віднімати будь-яке кратне число 5 6 . Віднімаючи кратні, 5 6 ми врешті-решт отримаємо нескінченно багато розв'язків задачі в негативних числах. Всі вони будуть задовольняти початковому рівнянню, але не задовольняти початкової задачі, оскільки її рішення має бути цілим позитивним числом.
Очевидно, що невеликого позитивного значення N, яке б задовольняло умови завдання, не існує. Можливо, просте рішення вдасться знайти у негативних числах? Простим підбором можна без особливих труднощів виявити дивовижний факт: таке рішення дійсно існує. Це N = - 4. Переконаємося у тому, що число справді задовольняє всі умови завдання.
Якщо використання "негативних" кокосових горіхів для вирішення старого варіанту завдання Вільямса здається не цілком законним, то по суті той же трюк проробити, пофарбувавши чотири кокосові горіхи в синій колір. Вперше розфарбовування як спосіб розв'язання завдання було відкрито ще 1912 року професором Н. Еннінгом. У його завданні 3 особи ділили між собою яблука. Стосовно задачі про кокосові горіхи спосіб Еннінга полягає в наступному.
Ця процедура - додавання синіх горіхів тільки для того, щоб переконатися, що кількість горіхів у черговій купі націло ділиться на 5 інаступне відкладання їх убік - повторюється щоразу. Виконавши її вшосте і востаннє, ми побачимо, що сині горіхи залишилися лежати осторонь. Вони не дісталися нікому. У наших маніпуляціях з горіхами вони не відіграють особливо важливої ролі, але допомагають нам краще розуміти те, що відбувається.
Тим, кого цікавлять стандартний метод розв'язання діофантових рівнянь першого ступеня за допомогою безперервних дробів, можна порекомендувати чіткий виклад цього методу в книзі Елен Меріл*. Його корисно знати всім любителям цікавих завдань, оскільки багато відомих головоломок засновані на рівняннях саме такого типу (див., наприклад, завдання 8 у розділі 29). Існують і інші, дуже різноманітні методи вирішення задач про кокосові горіхи, зокрема один з методів використовує числову систему з основою 5, але всі вони занадто складні для того, щоб на них варто зупинятися.
У цьому варіанті завдання загальне рішення записується у вигляді двох діофантових рівнянь. При непарному числі людей n слід брати рівняння
Число кокосових горіхів = (1+nk)n n -(n-1),
Кількість кокосових горіхів = (n-1+nk)n n -(n-1). Величина k і в тому й іншому рівнянні означає параметр, який може приймати будь-які цілі значення. У завдання Вільямса число людей дорівнює 5 (непарне число), отже, 5 слід підставити замість n першому рівняння. Щоб отримати найменше позитивне рішення, параметр k слід вибрати рівним 0.
Простіша задача про трьох моряків, поміщена в кінці глави, має відповідь: 15 кокосових горіхів. Якщо ви спробуєте вирішувати її, розламуючи сірники на дві половинки, щоб позначити половинки кокосових горіхів, то у вас може скластися враження, що завдання взагалі нерозв'язне. Насправді, для того, щоб виконати всевказівку за умови завдання операції, розбивати кокосові горіхи не потрібно.
* H. Merrill, Mathematical Excursions, Dover paperback, 1957. Див. також книгу: А. Я. Хінчін, Ланцюгові дроби, М.-Л.