Мероморфна функція
Мероморфна функціяодного комплексного змінного в ділянці Ω ⊂ C > (або на риманової поверхні Ω) - Голоморфна функція f в області Ω ∖ < a 1 , a 2 , … >,\;a_,\;\ldots \>> , яка в кожній особливій точці a i > має полюс (в такий спосіб a i > — ізольована точка множини < a 1 , a 2 , … >,\;a_,\;\ldots \>> , що не має граничних точок в Ω , і lim z → a i f ( z ) = ∞ >f(z)=\infty >
Або простіше: Функція комплексної змінної називається мероморфною, якщо вона визначена на всій комплексній площині і не має в кінцевій частині особливих площин точок, відмінних від полюсів.
Сукупність M ( Ω ) всіх мероморфних функцій на області Ω є полем щодо звичайних поточних операцій з подальшим довизначенням в усунутих особливостях.
- Відношення φ / ψ будь-яких голоморфних у Ω функцій, φ і ψ є мероморфною функцією в Ω .
- Назад, будь-яка мероморфна функція в області Ω ⊂ C > (і на некомпактної риманової поверхні Ω) представляється у вигляді φ / ψ, де φ і ψ голоморфні і не мають загальних нулів в Ω.
Таким чином, на некомпактній римановій поверхні поле M ( Ω ) збігається з полем приватних кільця голоморфних функцій Ω .
Таким чином, мероморфні функції одного комплексного змінного можна ототожнювати із голоморфними відображеннями у сферу Рімана.
- На будь-якій некомпактній рімановій поверхні існує мероморфна функція із заданими полюсами < a 1 , a 2 , … >,\;a_,\;\ldots \>> і заданими у кожному їх головною частиною розкладання Лорана (Теорема Міттаг-Леффлера про розкладання мероморфної функції).
- На компактній римановій поверхні (наприклад, на торі) це завдання загалом нерозв'язне.Потрібні додаткові умови узгодження основних елементів.