Модель Фермі-газу
У моделі Фермі-газу (ФГМ) нуклони в ядрі розглядаються як нерелятивістські ферміони, що рухаються у потенційній ямі. Головним припущенням моделі є припущення, що лінійні розміри ями набагато більші за нуклонні довжини хвиль:
| (6.1) |
Як перший наближення розглянемо рішення рівняння Шредінгера для частинок у нескінченно глибокої прямокутної потенційної ямі. І тут рішення у. Ш. зручно шукати у вигляді добутку трьох хвильових функцій:
| () = (x) (y) (z) | (6.2) |
Рішення в. Ш. всередині ями має простий вигляд:
| . (x) = a sin kxx + b cos kxx, (x) = 0 b = 0, (L) = 0 kxL = nx. | (6.3) |
Тут n – ціле число. Останні умови є наслідком "зшивання" хвильової функції всередині та ззовні ями. Повна енергія частки в ямі:
| (6.4) |
де N- ціле число - відповідає числу заповнених станів в ямі, причому з (6.1) випливає, що N > 1.
 |
 |
Максимальна енергія частки в ямі називаєтьсяенергією Фермі(див. рис.6.1):
| . | (6.5) |
З рівняння (6.4) отримаємо диференціал числа станів у ямі:
| dN = dnxdnydnz = L 3 dkxdkydkz / 3 = L 3 K 2 dKd/ 3 . | (6.6) |
Число станів частинки з енергіями E
| . | (6.7) |
Об'єм ями V дорівнює обсягу ядра: V = (4/3) R 3 = (4/3) r0 3 A. Оцінимо нуклонну щільність ядра. Використовуючи рівність (6.7), одночасно знайдемо зв'язок імпульсу Фермі з параметром r0, що експериментально вимірюється:
| . | (6.8) |
| ; . | (6.9) |
Отримуємо, що нуклонна густина ядра (6.8) приблизно стала. Похила щільність ядер експериментально визначена в дослідах з розсіювання електронів проміжних енергій (Е > 100 МеВ) на ядрах. Доповнили ці експерименти досліди щодо розсіювання протонів тих самих енергій. Результатом цих дослідів було уявлення про розподіл густини ядерної матерії у вигляді розподілу Фермі:
| . | (6.10) |
При цьому отримано, що
| R r0A 1/3, r0 (1.2 - 1.3) Фм. | (6.11) |
Нуклонна щільність ядер, згідно з цими вимірами, близька до константи, для середніх і важких ядер майже залежить від А і приблизно становить З (6.9) отримаємо значення імпульсу Фермі:
| KF (1.25 - 1.35(250 - 270) МеВ/c. | (6.12) |
Звідси значення максимальної кінетичної енергії частинок Фермі-газу (енергії Фермі) Слід підкреслити, що ця величина в ФГМ не залежить від числа нуклонів в ядрі. Звідси можна отримати і наближену величину глибини ядерної потенційної ями. Оскільки середня енергія відокремлення нуклону від ядра становить близько 8 МеВ, глибина потенційної ями (див. рис.6.1). Оцінку цієї величини можна отримати з інших міркувань, наприклад з вирішення задачі про потенціал дейтрона. Таким чином, проста модель Фермі-газу призводить до розумних оцінок глибини потенційної ядерної ями.
 |
Той факт, що нуклони ядра перебувають у русі, особливо наочно проявляється у реакціях квазіпружного розсіювання електронів. Переріз цього процесу являє собою широкий максимум, розташований вище енергії, ніж область збудженнямультипольних гігантських резонансів у ядрах (див. рис.6.3). Якби розсіювання електрона відбувалося на нерухомому нуклоні, максимум перебував би при переданій ядру енергії, пов'язаної з переданим ядру імпульсом q простим нерелятивістським співвідношенням де - переданий імпульс, M * - "ефективна" маса нуклону в ядрі. Але замість вузького піку при цій енергії на кривій перерізі спостерігається широкий максимум. Його ширина обумовлена саме ферміївським рухом нуклонів ядра. Розсіювання електрона відбувається - у граничних випадках - як на нуклоні, що рухається назустріч електрону, так і паралельно імпульсу електрона. Тому вимір ширин піків квазіпружного розсіювання є способом незалежного визначення величини імпульсу Фермі. У табл.1 для кількох ядер наведено значення імпульсів Фермі, розраховані з даних квазіпружного розсіювання електронів.
Таблиця 6.1. Імпульси Фермі для деяких ядер.
| Ядро | KF, МеВ |
| 7 Li | 169 |
| 12 C | 221 |
| 40 Ca | 251 |
| 58 Ni | 260 |
| 89 Y | 254 |
| 118 Sn | 260 |
| 208 Pb | 260 |
Модель Фермі-газу в астрофізиці
Вибух наднових зірок призводить до появи або нейтронних зірок, або чорних дірок. Доля наднової залежить насамперед від маси. Ферміївська енергія електронів у зірці така велика, що під час вибуху в зірці відбувається перетворення протонів і електронів на пари нейтрон-нейтрино (зворотний β-розпад: Процес звичайного β-розпаду нейтронів заборонений принципом Паулі для електронів (щільність речовини настільки велика, що всі рівні енергії електронів зайняті, включаючи ті, які могли б бути зайняті електроном, що випускається в цьому розпаді)."Вигоряння" протонів призводить до зникнення залізного кора зірки та перетворення її на нейтронний Фермі-газ:
Число станів у потенційній ямі N дорівнюватиме кількості нейтронів:
; 1 Фм -1 = 200 МеВ (с200 МеВ · Фм = 1) kF (320 - 380) МеВ / с; EF(50 - 70) МеВ.
Гравітаційному стиску системи протистоїть тиск Фермі-газу. Якщо маса кора наднової більша за подвійну масу Сонця, гравітаційні сили долають тиск Фермі-газу, і зірка перетворюється на чорну діру. При менших масах йде перетворення кора наднової в нейтронну зірку, в якій урівноважені сили гравітаційного стиску і тиск нейтронного газу. Маса нейтронної зірки приблизно Mnst 1.5MSun 3 · 10 30 кг (розраховано з даних по спостереженню доплерівського зміщення), тоді Nn Mnst/mn 1.8 . 10 57 – число нейтронів у зірці. Для отримання умови рівноваги зірки необхідно оцінити середню кінетичну енергію фермі-руху у зірці як функцію радіусу зірки.
.
У нейтронній зірці імпульс Фермі, радіус зірки пов'язаний з числом нейтронів N:
Rr0N 1/3; N = Mnst/mn 1.5MSun/mn = 1.8 · 10 57 , звідси R13 км.
Оцінку радіусу зірки можна отримати також із умови рівноваги, ввівши в нього залежності середньої кінетичної енергії ферміївського руху та середньої гравітаційної енергії стиснення від радіусу зірки:
З умови рівноваги отримуємо
(G = 6.7 . 10 -39 с.(ГеВ/c 2 ) -2 .)