Нерівності зі змінною

Нехай f(x) і g(x) – два вирази зі змінною х та областю визначення Х. Тоді нерівність виду f(x)>g(x) або f(x)нерівністю з однією змінною. Мн-во Х називається областю його визначення.

Вирішити нерівність - це означає знайти багато його рішень.

Дві нерівності називаютьсярівносильними, якщо їх мн-ва рішень рівні.

Нерівності 2х +7 10 і 2х 3 рівносильні, т.к. їх мн-ва рішень рівні і є проміжок (2/3;∞)

Теорема 1 про рівносильні нерівності.

Теорема.

Нехай нерівність f (x) & gt; g (x) задано на мн-ві Х і h (x) - вир-ие, певне тому ж мн-ве. Тоді нерівності f(x)>g(x)(1) і f(x)+ h(x)>g(x)+ h(x)(2) рівносильні на мн-ві Х.

Док-ть. 1) Т1⊂Т2; 2) Т2⊂Т1; 3) Т1 = Т2

Док-во.

Нехай Т1 – багато рішень нерівності (1), а Т2 – багато рішень нерівності (2). Тоді нерівності (1) та (2) будуть рівносильними, якщо Т1=Т2.

-Нехай число а - корінь нерівності (1). Тоді а ∈Т1, і при підстановці в нерівність (1) перетворює його на справжню числову нерівність f(a)>g(a), а вир-ие h(x) перетворює на числове вир-ие h(a). Додамо до обох частин справжньої нерівності f(a)>g(a) числове вир-ие h(a). Отримаємо, згідно св-вам істинних числових нерівностей, істинна числова нерівність f(а)+h(а)>g(а)+h(а), яка свідчить про те, що число а є коренем нерівності (2). Доведено, що кожен корінь нерівності (1) є коренем і нерівності (2), тобто Т1⊂Т2.

-Нехай число а - корінь нерівності (2). Тоді а ∈ Т2 і при підстановці в нерівність (2) перетворює його на справжню числову нерівність f(а)+h(а)>g(а)+h(а). Додамодо обох частин цієї рівності числове вир-ие -h (а). Отримаємо істинну числову нерівність f(a)>g(a), яка свідчить про те, що число а є коренем нерівності (1). Доведено, що кожен корінь нерівності (2) є коренем та нерівності (1), тобто Т2⊂Т1

Оскільки Т1⊂Т2 і Т2⊂Т1, то за визначенням рівних мн-в Т1=Т2, отже нерівності (1) і (2) рівносильні, як і вимагалося док-ть.

Наслідки:

-Якщо до обох частин нерівності f(x)>g(x) додати те саме число d, то отримаємо нерівність f(x)+d>g(x)+d, рівносильне вихідному;

-Якщо яке-небудь доданок (числове вир-ие чи вир-ие зі змінною) перенести з однієї частини нерівності до іншої, змінивши знак доданку на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильне даному.

Теорема 2 про рівносильні нерівності.

Теорема.

Нехай нерівність f(x)>g(x) задано на мн-ві Х і h(x) – вир-ие, певне тому ж мн-ве, і всім х з мн-ва Х вираз h(x) набуває позитивних значень. Тоді нерівності f(x)>g(x)(1) і f(x)* h(x)>g(x)* h(x)(2) рівносильні на мн-ві Х.

Док-ть.1) Т1⊂Т2; 2) Т2⊂Т1; 3) Т1 = Т2

Док-во.

-Нехай число а - корінь нерівності (1). Тоді а ∈Т1, і при підстановці в нерівність (1) перетворює його на істинну числову нерівність f(a)>g(a), а вир-ие h(x) перетворює на числове вир-ие h(a), при h>0. Помножимо обидві частини істинної нерівності f(a)>g(a) на числове вир-ие h(a). Отримаємо, згідно св-вам істинних числових нерівностей, істинна числова нерівність f(а)*h(а)>g(а)*h(а), яка свідчить про те, щочисло а є коренем нерівності (2). Доведено, що кожен корінь нерівності (1) є коренем і нерівності (2), тобто Т1⊂Т2.

-Нехай число а - корінь нерівності (2). Тоді а ∈ Т2 і при підстановці в нерівність (2) перетворює його на справжню числову нерівність f(а)*h(а)>g(а)*h(а). Розділимо обидві частини цієї нерівності на числове вир-ие h(а), h>0. Отримаємо істинну числову нерівність f(a)>g(a), яка свідчить про те, що число а є коренем нерівності (1). Доведено, що кожен корінь нерівності (2) є коренем та нерівності (1), тобто Т2⊂Т1

Теорема 3 про рівносильні нерівності.

Теорема.

Нехай нерівність f(x)>g(x) задано на мн-ві Х і h(x) – вир-ие, певне тому ж мн-ве, і всім х з мн-ва Х вираз h(x) набуває негативних значень. Тоді нерівності f(x)>g(x)(1) і f(x)* h(x)

Док-ть. 1) Т1⊂Т2; 2) Т2⊂Т1; 3) Т1 = Т2

Док-во.

-h(a). Отримаємо, згідно св-вам істинних числових нерівностей, істинна числова нерівність f(а)*h(а)

-Нехай число а - корінь нерівності (2). Тоді а ∈ Т2 і при підстановці в нерівність (2) перетворює його на справжню числову нерівність f(а)*h(а)g(a), яка свідчить про те, що число а є коренемнерівності (1). Доведено, що кожен корінь нерівності (2) є коренем та нерівності (1), тобто Т2⊂Т1