Нескінченність
Нескінченність- концепція, що використовується в математиці, філософії та природничих науках. Нескінченність якогось поняття чи атрибута деякого об'єкта означає неможливість вказати йому межі чи кількісну міру. Точне значення цього терміну дещо відрізняється залежно від сфери застосування — математика, фізика, філософія, теологія чи повсякденне життя.
1. Потенційна та актуальна нескінченність
Коли кажуть, що деяка величинапотенційно нескінченна, то мають на увазі, що вона може бути необмежено збільшена. Альтернативою є поняттяактуальної нескінченності, яка означає, що розглядається (як реально існуюча) величина, яка не має кінцевого заходу. Приклад: другий постулат Евкліда стверджує не нескінченність довжини прямої лінії, а лише те, що «пряму можна безперервно продовжувати». Це потенційна нескінченність. Якщо ж розглянути всю нескінченну пряму, вона дає приклад актуальної нескінченності.
Античні філософи та математики визнавали, як правило, лише потенційну нескінченність, рішуче відкидаючи можливість оперувати з актуально нескінченними атрибутами. [1] Відповідно до цієї доктрини формулювалися наукові твердження. Наприклад, теорема про нескінченність безлічі простих чисел у античних математиків формулювалася так: «Яке б не було просте числоP, існує просте число, більше, ніжP».
… Завжди можна придумати більше, оскільки кількість елементів, на які можна розділити відрізок, не має межі. Тому нескінченність потенційна, ніколи не дійсна; хоч би кількість поділів не задали, завжди потенційно можна поділити на більшу кількість. [2]
Саме Арістотель зробив великийвклад в усвідомлення нескінченності, розділивши її на потенційну і актуальну і впритул підійшовши з цього боку до основ математичного аналізу, а також вказавши на п'ять джерел уявлення про неї:
- час;
- поділ величин;
- невичерпність природи, що творить;
- саме поняття кордону, що штовхає її межі;
- мислення, яке незупинне.
2. Нескінченність у культурі та філософії
Нескінченність у більшості культур з'явилася як абстрактне кількісне позначення чогось незбагненно великого, стосовно сутностей без просторових чи тимчасових кордонів.
Математичного походження символу нескінченності передував релігійний аспект. Подібні символи були знайдені серед скелетів Тибету наскельних; змія, що кусає свій хвіст, або змія нескінченності, часто зображується у формі такого символу.
Поняття нескінченності набуло розвитку у філософії та теології нарівні з точними науками. Наприклад, у теології нескінченність Бога й не так дає кількісне визначення, скільки означає необмеженість і незбагненність. У філософії нескінченність довгий час розглядалася також як атрибут простору та часу; у наші дні це дискусійне питання космології. Наприклад, найдавнішим, першим відомим символомнескінченності, що зустрічається в абсолютно різних культурах, є змій Уроборос, іноді розгортається у вигляді перевернутої вісімки.
3. Нескінченність у математиці
У математиці немає єдиного поняття нескінченності, вона наділяється особливими властивостями у кожному розділі. Більше того, ці різні «нескінченності» не взаємозамінні. Наприклад, теорія множин має на увазі різні нескінченності, причому одна може бути більшою за іншу.Скажімо, кількість цілих чисел нескінченно велике (воно називається лічильним 9). Щоб узагальнити поняття кількості елементів нескінченних множин, в математиці вводиться поняття потужності множини. При цьому немає однієї «нескінченної» потужності. Наприклад, потужність безлічі дійсних чисел більша за потужність цілих чисел, тому що між цими множинами не можна побудувати взаємно-однозначну відповідність (бієкцію), а цілі числа включені в дійсні. Отже, у разі «число елементів» (потужність) однієї множини «нескінченної» «числа елементів» (потужності) іншого. Основоположником цих понять був німецький математик Георг Кантор.
У математичному аналізі до безлічі дійсних чисел додаються два символи і , що застосовуються визначення граничних значень і збіжності. Варто зазначити, що в цьому випадку про «відчутну» нескінченність не йдеться, оскільки будь-яке твердження, що містить цей символ, можна записати, використовуючи тільки кінцеві числа і квантори. Ці символи, як і багато інших, було введено для скорочення запису довших виразів.
У 1655 році Джон Валліс видає великий трактат «Арифметика нескінченного», де з'являється придуманий ним символ нескінченності: ∞.
У Юнікоді нескінченність позначена символом ∞ (U+221E), він включений до друкарської розкладки Бірмана версії 2.0 ( AltGr + 8 ).
Література
- Бурбаки Н.Нариси з історії математики/Пер. І. Г. Башмакової під ред. К. А. Рибнікова. - М.: КомКнига, 2007. - ISBN 978-5-484-00525-3
- Клайн М.Математика. Втрата певності. - М.: Світ, 1984. - 446 с.