Обчислення ймовірностей за допомогою формул комбінаторики
Вірогідність подіїАдорівнює відношенню числа результатів випробуванняm, в яких може з'явитися подіяА, до загального числаnвсіх елементарних результатів випробування, що утворюють повну групу:
ПРИКЛАД 2.1.Букви Т, Е, І, Я, Р, О написані на окремих картках. Дитина бере картки у випадковому порядку та прикладає одну до іншої. Яка можливість отримати слова: а) "тор"; б) "теорія"?
РІШЕННЯ. а) Нехай подіяА- отримання слова "тор". Елементарним результатом випробування є вилучення трьох карток із шести. Загальна кількість всіх результатів випробування дорівнює кількості розміщень з 6 по 3, так як різні вибірки можуть відрізнятися як складом, так і порядком:
n=
Слово "тор" можна отримати лише одним способомm=1. Тоді:
б) Нехай подія- отримання слова "теорія". Елементарним результатом випробування є отримання різних комбінацій із шести літер. Загальна кількість всіх результатів випробування дорівнює кількості перестановок з 6, так як різні вибірки можуть відрізнятися один від одного тільки порядком:
n=
Слово "теорія" можна отримати лише одним способомm=1. Тоді:
ПРИКЛАД 2.2.Літера «а» написана на трьох картках, літера «н» - на двох картках, літера «с» - на одній картці. Дитина бере картки у випадковому порядку та прикладає одну до іншої. Яка можливість отримати слово "ананас"?
РІШЕННЯ. Нехай подіяА- одержання слова "ананас". Як і попередньому випадку, елементарним результатом випробування є отримання різних комбінацій з шести букв. Загальна кількість всіх результатів випробування дорівнює кількості перестановок з 6, так як різні вибірки можуть відрізнятися один від одноготільки порядком:
n=
Слово "ананас" можна отримати не одним способом, оскільки перестановка трьох букв "а" і двох букв "н" не змінює це слово. Три картки з літерою «а» можна розставити 6 способами:
m1=
Дві картки з літерою «н» можна розставити двома способами:
m2=
Картку з літерою "с" можна розставити одним способом. Тоді:m=m1m2m3=6 2 1=12. Отже:
ПРИКЛАД 2.3.У урні знаходиться 15 куль, з них 9 червоних та 6 синіх. Яка ймовірність того, що вийняті навмання дві кулі: а) обидві червоні; б) 1 червоний, 1 синій?
РІШЕННЯ. а) Нехай подіяА- вилучено дві червоні кулі. Загальна кількість всіх результатів випробування дорівнює кількості способів, якими можна вибрати 2 кулі з 15. Різні вибірки можуть відрізнятися один від одного тільки складом (порядок не має значення), тому:
n=
Число випадків, що сприяють подіїА, дорівнює кількості поєднань з 9 червоних куль по 2:
m=
б) Нехай подіяВ- вилучено одну червону та одну синю кулю. Загальна кількість всіх результатів випробування, як і в попередньому випадку, дорівнюєn=105. Для того щоб підрахувати кількість випадків, що сприяють подіїВ, необхідно вибрати 1 кулю з 9 червоних (одна вихідна множина) і 1 куля з 6 синіх (інша вихідна множина). Тоді:
m=m1m2=
ПРИКЛАД 2.4.У партії 50 деталей, їх 5 - браковані. Яка ймовірність того, що серед обраних навмання для перевірки шести деталей дві виявляться бракованими?
РІШЕННЯ. Нехай подіяА- вибрано 2браковані деталі та 4 небраковані. Загальна кількість всіх результатів випробування дорівнює кількості способів, якими можна вибрати 6 деталей з 50. Різні вибірки можуть відрізнятися один від одного тільки складом (порядок не має значення), тому:
n=
Для того щоб підрахувати число випадків, що сприяють подіїА, необхідно вибрати 2 деталі з 5 бракованих (одна вихідна множина) і 4 деталі з 45 небракованих (інша вихідна множина). Тоді:
m=m1m2=
ПРИКЛАД 2.5.До ліфту на першому поверсі дев'ятиповерхового будинку увійшли 4 особи, кожен з яких може вийти незалежно один від одного на будь-якому поверсі з першого по дев'ятий. Якою є ймовірність того, що всі пасажири вийдуть: а) на шостому поверсі; б) одному поверсі?
РІШЕННЯ. а) Нехай подіяА- усі пасажири вийдуть на шостому поверсі. Кожен пасажир може вийти на восьми поверхах (з другого по дев'ятий поверх), тобто вихідна множина складається з 8 поверхів. Вибірка дорівнює 4 поверхам. Тоді загальна кількість всіх результатів випробування дорівнює кількості розміщень з повтореннями, так як елементи вибірки можуть повторюватися (наприклад, всі чотири людини можуть вийти на тому самому поверсі). Тому:
n=
Число випадків, що сприяють подіїА, дорівнюєm=1.
б) Нехай подіяВ- усі пасажири вийдуть одному поверсі. Тепер події будуть сприяти 8 випадків (всі пасажири вийдуть або на другому поверсі, або на третьому, ..., або на дев'ятому поверсі). Отже:
ПРИКЛАД 2.6.У партії 100 виробів, із них 4 - браковані. Партію довільно поділено на дві рівні частини, які відправлені двом споживачам. Яка ймовірність того, що всі бракованідеталі дістануться: а) одному споживачеві; б) обом споживачам порівну?
РІШЕННЯ. а) Нехай подіяА- усі браковані вироби дістануться одному споживачеві. Загальна кількість всіх результатів випробування дорівнює числу способів вибрати 50 виробів зі 100, тобто:
n=
ПодіїАсприяють випадки, коли з 50 виробів, відправлених одному споживачеві, буде або 46 стандартних із 96 і всі 4 браковані вироби, або 50 стандартних із 96:
б) Нехай подіяВ- у кожній партії по 2 браковані вироби. Тепер події будуть сприяти випадки, коли з 50 виробів, відправлених одному споживачеві, будуть 48 стандартних з 96 і 2 бракованих з 4, тобто: