Одночасне вивчення похідної та первісної функції
Взаємозворотні дії, до яких належать обчислення похідної та первісної, повинні вивчатися по можливості одночасно і спільно, на одному уроці та на одній сторінці зошита.
Психологічна повнота асоціації досягається у системі вправ спільністю прийомів обчислень, формул, таблиць.
Перше завдання – обчислення похідної – дається, а друге – обчислення первісної – перевіряє рішення першого завдання, оскільки відоме у першій задачі стає невідомим, шуканим у другому завданні. За рахунок цього йде саморозвиток думки учня, творчість, менше робиться помилок при обчисленні первісної, що часто буває при роздільному вивченні цих тем; крім того, економиться час.
До одночасного вивчення похідної та первісної обов'язково потрібно дати історичну довідку про диференційне та інтегральне обчислення; пояснити зміст межі функції, поняття збільшення функції, аргументу, поняття середньої швидкості зміни функції, миттєвої швидкості зміни функції.
Похідна
1.Визначення.Похідної функціїf(x) у точціx0 називається межа (якщо вона існує) відношення збільшення функції Df(x) у цій точці до збільшення Dxаргументу, коли Dxпрагне до нуля
2. Обчислення похідної з визначення.
- Знаходимо збільшення функції в точціx0 Df=f(x0 + Dx) -f(x0)
або в точціxDf=f(x+ Dx) -f(x).
- знаходимо різнинне ставлення
- Обчислюємо межу цього відношення при Dx® 0 (якщо він існує)
Приклад.f(x) = . Знайтиf' (x)
Рішення.
.
3. Правила обчислення похідних.
- Похідна суми двох або декількох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій, якщо похідні всіх доданків існують.
Приклад 1.f'(x) = (x2 +x+ 2) '= (x2) '+ (x) '+2' = 2x+ 1 + 0 = 2x+ 1.
Приклад 2. -
або можна
- Виробна статечної функціїf(x) =x n, деnПроZ, дорівнює добутку показникаnна ступіньx n-1, тобто
(Доказ методом математичної індукції.)
Приклад 1.
- Виробна твори обчислюється за формулою (fg) ' =f'g+g'f, якщо кожна з похіднихf' іg' існує.
Приклад 2.F'(x) = (2x2 – 3x+C) ' = (2x2 ) ' - (3x) ' +C' = 2(x2 ) ' – 3(x) ' + 0 = 2*2x– 3 = 4x– 3 =f(x).
- Похідна складної функції.
Приклад 1.h(x) = (3x– 1) 5 , Позначимо 3x– 1 =y, тодіh(x) =y5 .
Тодіh'(x) = 5(3x– 1) 4 *3 = 15(3x– 1) 4 або простішеh'(x) = ((3x– 1) 5 ) ' = 5(3x– 1) 4 (3x– 1)' = 3*5(3x– 1) 4 = 15(3x– 1) 4 .
Приклад 2.
Рішення.
Приклад 3.h(x) = (2x+ 3) 100 ,
h' (x) = ((2x+ 3) 100) ' = 100(2x+ 3) 99 (2x+ 3)' = 100(2x+ 3) 99 *2 = 200(2x+ 3) 99 .
Первоподібна
1.Визначення.ФункціяF(x) називається первісною для функціїf(x) на заданому проміжку>J, якщо всімxз цього проміжку виконується рівністьF'(x) =f(x).
Знаходження первісної - інтегрування - операція, зворотна операції диференціювання.
2. Алгоритм обчислення первісної. Будь-яка первісна для функціїf(x) на проміжкуJможе бути записана у виглядіF(x) +C, деF(x) – одна з первісних для функціїf(x) на проміжкуJ, аC- постійна.
- F(x) – первісна дляf(x), отже, за визначеннямF'(x) =f(x) для "xПроJ.
Приклад 1. Для функції на інтервалі (0; + Ґ ) знайти первісну.
Рішення. Первоподібною є функція
бо
Приклад 2. Відомі значення похідних, знайти самі функції:
( )' = 1; ( ) '=x3;
3. Правила знаходження первісних.
- Первоподібна суми двох або декількох функцій дорівнює сумі цих функцій на даному проміжку.
Рішення. деCможе дорівнювати 2.
Приклад 2.
Рішення.
- Первоподібна статечної функціїf(x) =x n, деnПроZ, дорівнює
бо
Приклад 1.
Рішення.
Приклад 2.
Рішення.
Постійний множник можна виносити за знак похідної/первоподібної. Нехайk- постійне число.
F '(x) =f(x), тоkF- первісна дляkf, так як (kF) '=kF' =kf.
Рішення.
x2 (x3 + 1) +C, так якF'(x) =f(x).
Рішення.
- Первоманітна складна функція.
ЯкщоF(x) є первісною дляf(x), аkіb- постійні, причому
є одна з первісних дляf(kx+b).
ЯкщоF'(x) =f(x), то за правилом знаходження похідної складної функції:
f(kx+b).
Рішення.
(3x- 1) 5 +C, так якF'(x) =f(x).
Приклад 2.
Рішення.
Для первісної є а функціяf(x) –
Виходячи з розглянутих правил та аналогічно розібраним прикладам складемо таблицю знаходження похідних та первісних елементарних функцій:
Потім вивчається застосування похідної у фізиці, геометрії, для дослідження функцій, а також застосування первісної у обчисленні площі криволінійної трапеції.