Основи математичного аналізу
Похідною деякої функції f(x) у конкретній точці x0 називають межу співвідношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що x слідує до 0, а кордон існує. Похідну зазвичай позначають штрихом, іноді за допомогою крапки або через диференціал. Нерідко запис похідно через кордон приводить в оману, оскільки таке уявлення використовується вкрай рідко.
Функцію, яка має похідну у певній точці x0, прийнято називати диференційованою в такій точці. Припустимо, D1 - безліч точок, у яких функція f диференційована. Поставивши у відповідність кожному числу число x, що належить D f'(x), отримаємо функцію з областю позначення D1. Ця функція є похідною y=f(x). Її позначають так: f'(x).
Крім того, похідна широко використовується у фізиці та техніці. Розглянемо найпростіший приклад. Матеріальна точка рухається координатною прямо, причому заданий закон руху, тобто координатою x цієї точки є відома функція x(t). Протягом інтервалу часу від t0 до t0+t переміщення точки дорівнює x(t0+t)-x(t0)= x, та її середня швидкість v(t) дорівнює x/t.
Іноді характер руху представлений те що при малих відрізках часу середня швидкість не змінюється, мають на увазі те, що рух із більшою мірою точності вважається рівномірним. Або значення середньої швидкості, якщо t0 слід до деякого абсолютно точного значення, яке і називають моментальної швидкістю v(t0) цієї точки в конкретний момент часу t0. Вважається, що моментальна швидкість v(t) відома для будь-якої диференційованої функції x(t), причому v(t) дорівнюватиме x'(t). Простіше кажучи, швидкість – похідна від координати за часом.
Миттєвашвидкість має і позитивні, і негативні значення, і навіть значення 0. Якщо вона на певному інтервалі часу (t1; t2) позитивна, тоді точка рухається у тому напрямі, тобто координата x(t) збільшується згодом, і якщо v (t) негативна, тоді координата x(t) зменшується.
У складніших випадках точка рухається у площині чи просторі. Тоді швидкість – векторна величина і визначає кожну координат вектора v(t).
Аналогічно можна зіставити із прискоренням руху точки. Швидкість є функцією від часу, тобто v = v (t). А похідна такої функції – прискоренням руху: a = v '(t). Тобто виходить, що похідна від швидкості є прискоренням.
Як знайти похідну? Знаходження похідної певної функції називається її диференціюванням.
Наведемо приклади того, як знайти похідну функцію:
Похідна постійної функції дорівнює нулю; похідна функції y=x дорівнює одиниці.
А як знайти похідну дробу? Для цього розглянемо наступний матеріал:
За будь-якого x0<0 будемо мати
Існує кілька правил, як знайти похідну. А саме:
Якщо функції A і B диференційовані у точці x0, їх сума диференційована у точці: (A+B)’=A’+B’. Простіше кажучи, похідна сума дорівнює сумі похідних. Якщо функція диференційована в деякій точці, її приріст слід до нуля при дотриманні до нуля приросту аргументу.
Якщо функції A і B диференційовані у точці x0, їх добуток диференційовано у точці: (A*B)’=A’B+AB’. (Значення функцій та їх похідних розраховуються у точці x0). Якщо функція A(x) диференційована в точці x0, а С – постійна, тоді функція CA диференційована в цій точці і (CA) = CA. Тобто такий постійниймножник виноситься за знак похідної.
Якщо функції A і B диференційовані в точці x0, і функція B не дорівнює нулю, їх співвідношення так само диференційовано в точці: (A/B)'=(A'B-AB')/B*B.