Парадокс Монті Холла, Блог 4brain

Багато хто з нас напевно чув про теорію ймовірностей – особливий розділ математики, який вивчає закономірності у випадкових явищах, випадкові події, а також їх властивості. І якраз одним із завдань теорії ймовірностей є найцікавіший і, здавалося б, парадокс Монті Холла, що суперечить здоровому глузду, названий так на честь провідного американського телешоу «Let's Make A Deal». З цим парадоксом ми хочемо вас сьогодні познайомити.

Визначення феномена Монті Холла

Автомобіль може однаково перебувати за кожними дверима
Ведучий завжди зобов'язаний відчиняти двері з козою, крім тих, які вибрав гравець, і пропонувати гравцеві можливість зміни вибору
Ведучий, маючи можливість відкрити одну з двох дверей, вибирає будь-яку з однаковою ймовірністю

Поданий нижче аналіз феномена Монті Холла розглядається саме з урахуванням цієї умови. Отже, розбір феномена.

Розбір феномена Монті Холла

Є три варіанти розвитку подій:

Під час вирішення представленої задачі зазвичай наводяться такі міркування: ведучий у кожному випадку прибирає одні двері з козою, отже, ймовірність знаходження автомобіля за одним із двох закритих дверей прирівнюється до ½ незалежно від того, який вибір був зроблений спочатку. Однак, це не так. Сенс у тому, що, роблячи перший вибір, учасник поділяє двері на A (вибрану), B та C (що залишилися). Шанси (P) на те, що машина стоїть за дверима A, дорівнюють 1/3, а на те, що вона за дверима B і C дорівнює 2/3. І шанси на успіх при виборі дверей B та C обчислюються так:

Де ? є умовною ймовірністю того, що машина знаходиться саме за цими дверима, за умови, що машина не за тими дверима, що вибравгравець.

Ведучий, відкриваючи заздалегідь програшні двері з двох, повідомляє гравцю 1 біт інформації і змінює тим самим умовні ймовірності для дверей B і C на значення 1 і 0. Тепер шанси на успіх будуть обчислюватися так:

І виходить, що якщо гравець змінить свій початковий вибір, то його шанс на успіх дорівнюватиме 2/3.

Пояснюється це так: змінюючи свій вибір після маніпуляцій ведучого, гравець виграє, якщо спочатку він вибрав двері з козою, т.к. ведучий відкриває другі двері з козою, а гравцеві залишається лише поміняти двері. Вибрати спочатку двері з козою можна двома способами (2/3), відповідно, якщо гравець замінить двері, то виграє з ймовірністю 2/3. Саме через протиріччя такого висновку інтуїтивному сприйняттю завдання й набула статусу парадоксу.

Інтуїтивне сприйняття свідчить про таке: коли ведучий відкриває програшні двері, перед гравцем постає нове завдання, здавалося б пов'язана з початковим вибором, т.к. коза за відчиненими провідними дверима буде там у будь-якому випадку, незалежно від того, програшну або виграшну двері спочатку вибрав гравець. Після відкриття провідним двері гравець повинен знову зробити вибір - або зупинитися на колишніх дверях, або вибрати нові. Це означає, що гравець робить новий вибір, а не змінює початковий. І математичним рішенням розглядаються дві послідовні та пов'язані один з одним завдання ведучого.

Але треба мати на увазі, що ведучий відчиняє двері саме з тих двох, які залишилися, але не ті, що вибрав гравець. А значить, шанс на те, що машина знаходиться за дверима, що залишилися, збільшуються, т.к. ведучий її не вибрав. Якщо ж ведучий знає, що за обраними гравцем дверима стоїть коза, все-таки її відчинить, він тим самим свідомо знизить ймовірністьтого, що гравець вибере правильні двері, адже ймовірність успіху дорівнюватиме ½. Але це вже гра за іншими правилами.

А ось ще одне пояснення: припустимо, гравець грає за представленою системою, тобто. із дверей B або C завжди вибирає ту, що відрізняється від початкового вибору. Програє він у разі, якщо спочатку вибрав двері з автомобілем, т.к. згодом вибере двері з козою. У будь-якому іншому випадку гравець виграє, якщо вибрав програшний варіант. Однак ймовірність того, що спочатку він вибере його, дорівнює 2/3, з чого випливає, що для успіху в грі спочатку потрібно зробити помилку, ймовірність якої вдвічі більша за вірогідність правильного вибору.

Третє пояснення: уявімо, що дверей не 3, а 1000. Після того, як гравець зробив вибір, ведучий прибирає 998 непотрібних дверей - залишаються тільки два двері: обрана гравцем і ще одна. Але шанс на те, що машина за кожним із дверей зовсім не ½. Найімовірніше (0,999%) машина буде поза тими дверима, які гравець не вибрав спочатку, тобто. за дверима, відібраними з 999 інших, що залишилися після першого вибору. Приблизно так само потрібно і міркувати при виборі з трьох дверей, нехай шанси на успіх і знижуються і стають 2/3.

І останнє пояснення – заміна умов. Допустимо, що замість того, щоб робити початковий вибір, наприклад, двері №1, і замість відкриття дверей №2 або №3 ведучим, гравець повинен зробити правильний вибір з першого разу, якщо йому відомо, що ймовірність успіху з дверима №1 дорівнює 33 %, але про відсутність машини за дверима №2 та №3 він не знає нічого. З цього випливає, що шанс успіху з останніми дверима становитиме 66%, тобто. ймовірність перемоги збільшується вдвічі.

Але який буде стан справ, якщо ведучий поводитиметься інакше?

Розбір феномена Монті Холлапри іншій поведінці ведучого

У класичній версії парадоксу Монті Холла йдеться про те, що ведучий шоу повинен обов'язково надати гравцеві вибір дверей, незалежно від того, вгадав гравець чи ні. Але ведучий може й ускладнити свою поведінку. Наприклад:

Ведучий пропонує гравцеві змінити свій вибір, якщо він спочатку вірний – гравець завжди програє, якщо погодиться змінити вибір;
Ведучий пропонує гравцеві змінити свій вибір, якщо він спочатку не вірний - гравець завжди переможе, якщо погодиться;
Ведучий відкриває двері навмання, не знаючи, що де стоїть – шанси гравця на виграш при зміні дверей завжди становитимуть ½;
Ведучий відкриває двері з козою, якщо гравець дійсно вибрав двері з козою – шанси гравця на виграш при зміні дверей завжди становитимуть ½;
Ведучий завжди відчиняє двері з козою. Якщо гравець вибрав двері з машиною, ліві двері з козою відчинятимуться з ймовірністю (q) рівною p, а права - з ймовірністю q = 1-p. Якщо ведучий відчинив двері зліва, то ймовірність виграшу розраховується як 1/(1+p). Якщо ведучий відкрив двері праворуч, то: 1/(1+q). Але ймовірність того, що будуть відкриті двері праворуч, дорівнює: (1+q)/3;
Умови прикладу вищі, але p=q=1/2 — шанси гравця на виграш при зміні дверей завжди становитимуть 2/3;
Умови прикладу вище, але p=1, а q=0. Якщо ведучий відкриє двері праворуч, то зміна гравцем вибору призведе до перемоги, якщо будуть відкриті двері зліва, то ймовірність перемоги дорівнюватиме ½;
Якщо ведучий завжди буде відчиняти двері з козою, коли гравцем вибрано двері з автомобілем, і з ймовірністю ½, якщо гравцем вибрано двері з козою, то шанси гравця на виграш при зміні дверей завжди становитимуть ½;
Якщо гра повторюється багато разів, амашина знаходиться за тими або іншими дверима завжди з однаковою ймовірністю, плюс з однаковою ймовірністю ведучим відкривається двері, але ведучий знає, де машина і завжди ставить гравця перед вибором, відкриваючи двері з козою, то ймовірність перемоги дорівнюватиме 1/3;
Умови з прикладу вищі, але ведучий взагалі може не відчиняти двері – шанси гравця на виграш становитимуть 1/3.

Такий феномен Мотні Холла. Перевірити його класичний варіант практично досить просто, але набагато складніше буде провести експерименти зі зміною поведінки ведучого. Хоча для прискіпливих практиків і це можливо. Але не важливо, чи станете ви перевіряти парадокс Монті Холла на особистому досвіді чи ні, тепер ви знаєте деякі секрети ігор, що проводяться з людьми на різних шоу та телепередачах, а також цікаві математичні закономірності.

До речі, це цікаво: парадокс Монті Холла згадується у фільмі Роберта Лукетича «Двадцять одне», романі Сергія Лук'яненка «Недотепа», телесеріалі «4ісла», повісті Марка Хеддона «Загадкове нічне вбивство собаки», коміксе «XKCD » однією із серій телешоу «Руйнівники легенд».