Перед вами три коробки, в якій з них є приз

Перед вами три коробки, в одній з яких є цінний приз, у двох інших нічого немає. Ви можете вибрати будь-яку коробку, але вам, як і раніше, невідомо, в який саме приз. Одну з двох не вибраних коробок відкривають і показують, що вона порожня. Тепер ви можете або залишити коробку, яку спочатку вибрали (залишити), або поміняти її на іншу, невідкриту (замінити). Що ви волієте зробити (залишити чи замінити)?

Це питання є різновидом парадоксу Монті Холла і було сформульовано 1975 року статистиком географічних даних Стівом Селвіном. Монті Холл був першим ведучим телевізійної гри-шоу «Давайте укласти угоду». Загадка Селвіна відноситься до ситуації, яка трохи нагадує фінальний раунд у цьому телевізійному шоу, при якому учасники обирають призи за дверима. У листі American Statistician Селвін стверджував, що вам слід погодитися на обмін. Цей варіант здався багатьом настільки суперечливим, що в наступному листі Селвін довелося його захищати. Монті Холл написав Селвіну та погодився з його аналізом.

З того часу цей парадокс став темою величезної кількості обговорень. Після згадки про нього в 1990 році Мерілін вос Савант у своїй колонці, яку вона веде в журналі Parade, він став популярним і широкому загалу. Наступного року Джон Тьорні з New York Times розповів, що цю загадку «обговорюють і в залах Центрального розвідувального управління, і в казармах пілотів літаків-винищувачів, які беруть участь у війні у Перській затоці. Її аналізували математики з Массачусетського технологічного інституту та програмісти з Los Alamos National Laboratory…». З'ясувалося, що це завдання використовується і в передачі Car Talk,яка ведеться на NRP і в телевізійному шоу NUMB3RS. До неї вдаються на співбесіди в Bank of America та інших фінансових фірмах. Циніки можуть знайти паралель з управлінням ризиками у фінансовій галузі, коли ймовірності таємно змінюються і вам намагаються підсунути «порожню скриньку».

Найцікавіше в загадці Селвіна - її труднощі.

У ході одного дослідження було встановлено, що лише 12% людей, яким ставили це питання, давали правильні відповіді. Цей результат дивовижний, якщо врахувати, що будь-яка людина, яка не має жодних підказок, при простій здогадці може виявитися правою в 50 випадках зі 100. Іншими словами, це випадок, коли інтуїція веде вас у неправильному напрямку.

Більшість тих, хто відповідає, вважають, що немає жодної різниці, чи залишите ви першу коробку або її поміняєте. Більш просунуті можуть додати, що будь-хто, хто думає, що може підвищити свої очікування за допомогою обміну, помиляється, тобто поводиться так само, як гравці-невдахи, які наполягають, що ігровий автомат «підкручений» і тому в ньому ніколи не можна виграти джек -пот.

За будь-якого питання, пов'язаного з ймовірностями, важливо знати, що відбувається випадково, а що навмисно. Скажімо, ваш друг підкидає монету 10 разів, і щоразу вона падає орлом нагору. Який шанс, що за наступного кидка знову випаде орел? Ви не можете це точно сказати доти, доки не з'ясуйте, чи була попередня серія простим результатом удачі або наслідком того, що ця монета має якісь особливості.

Коли Селвін запропонував цю загадку, початковий варіант шоу «Давайте уклали угоду» все ще виходив в ефір і став невід'ємною частиною поп-культури. Моя бабуся, яка дивилася це шоу, вважала Монті шахраєм, хоч і знаменитим. Ось як вона цеобгрунтовувала, голосно звертаючись до телевізора: «Якщо він хоче запропонувати вам ці двері, він, мабуть, знає, що за ними є щось менш цінне, ніж те, що вже є в учасника».

Треба сказати, що вона не дуже помилялася. В одному інтерв'ю Холл заявив, що коли він знав, що учасник вибрав найбільший приз, він пропонував гроші людині замість того, що знаходиться за обраними ним дверима. Це додавало передачі видовищності. Коли людина змінювала великий приз на дріб'язок, він перетворювався на невдаху, а це викликає в аудиторії набагато більше емоцій.

Давайте дамо коробкам назви. Нехай вони будуть такими: вибрана, що відкривається і спокушає. Спочатку шанси на те, що ви оберете коробку із призом, рівні один до трьох. Після вашого вибору відкривається одна з двох коробок, що залишилися, і виявляється, що вона порожня. Щоб визначити, як це вплинуло на ваші шанси отримати великий приз, вам необхідно знати, хто відкриває другу коробку та яка його мета.

Є два можливі варіанти.

Коробка, що відкривається, була обрана випадково (наприклад, підкинули монету) з тих двох коробок, які ви не вибрали. Це означає, що у відкритій коробці міг бути приз, хоча, як виявилося, його не було.
Коробка була відкрита людиною, яка знала, що в ній знаходиться, і заздалегідь планувала показати порожню коробку і вона могла це зробити за будь-яких умов.

Вихідне завдання Селвіна не залишає сумнівів, що другий варіант бажаний для ТБ. («Безперечно, Монті Холл знає, яка коробка є цінною, і тому не відкриває коробку, де лежать ключі від автомобіля.»)

Це важливе уточнення часто не береться до уваги. Як вже говорилося вище, це завдання, що задається на співбесіді, є суперечливим. У нійне згадується про ведучого, який може вдаватися до махінацій, і не розповідається, як вибирається коробка, що відкривається. Вам слід попросити інтерв'юера уточнити ці деталі та вказати, що питання дозволяє дати різні відповіді залежно від того, як вибирається друга коробка.

Відкривши коробку при першому варіанті, ви отримуєте певну інформацію: у цій коробці призу немає, хоча він міг бути там. Це різко підвищує ваші шанси на те, що в обраній вами коробці є приз з 1 ⁄3 до 1 ⁄2. Так само змінюються шанси на наявність призу і в коробці, що спокушає. Оскільки і в тій, і в іншій коробці шанси на виграш п'ятдесят на п'ятдесят, міняти одну коробку на іншу немає жодного сенсу.

Відкривши коробку при другому варіанті, жодної корисної інформації ви не отримуєте. Монті (або будь-яка інша людина) знає, що лежить у коробках і завжди може вибрати порожню і показати її вам. Його навмисна демонстрація не підвищує шанси, що обрана вами спочатку коробка є цінною. Інакше кажучи, початковий шанс, рівний 1 ⁄3, після відкриття другої коробки так само залишається.

Іншими словами, відкриття другої коробки не змінило ймовірності, що дорівнює 2 ⁄3, що в одній із двох коробок знаходиться приз. Але оскільки одна з цих коробок, як було показано, порожня, ця ймовірність, що дорівнює 2 ⁄3, тепер повністю припадає на коробку, що спокушує. Прийнявши пропозицію ведучого про заміну, ви подвоює ваші шанси на отримання призу.

Якщо ви, як і раніше, не розумієте, чому відповідь Селвіна є правильною, уявіть, що є 100 коробок. Ви вибираєте коробку № 79. Потім Монті відкриває 98 з 99 коробок, що залишилися. Усі вони порожні. Після цього, крім вашої коробки, відкритою залишається, скажімо, коробка № 18. Монті запитує вас, чи хочете випоміняти коробку №79 на коробку №18?

Ви починали з ймовірності 1 до 99, що ключі від машини лежать у коробці. Монті поводиться як ведучий. І він не має наміру показати вам нічого, крім порожньої коробки, і він може це зробити. Шанс, що приз знаходиться у вашій коробці, залишається незмінним, тобто 1 ⁄100, у той час як шанс, що він у ящику № 18, після того, як ведучий відкрив усі інші коробки, які виявилися порожніми, зростає до 99 ⁄100 . Так що, якщо перед вами 100 коробок, ви підвищуєте шанси в 99 разів (!), якщо змінюєте її на решту.

Коли психологи Дональд Гренберг і Тад Браун під час співбесіди пропонували це завдання (у тому випадку люди обирали двері), вони постійно чули пояснення, на кшталт таких:

«Я не став би вибирати інші двері: якщо я помилюся при обміні, я більше мучитиму себе, ніж якщо я залишуся зі своїми дверима і програю».

«Це був мій перший вибір, зроблений інстинктивно, і якщо я помилився, що ж, нехай так воно і буде. Але якщо я поміняю двері і виявлюся неправим, це буде ще гірше».

«Я дійсно шкодуватиму, якщо я поміняю двері та програю. Психологічно краще залишатися вірним своєму першому вибору».

Все це синдроми страху втрати. Нам, людям, властиво уникати рішень, які можуть виявитися поганими, навіть якщо шанси на виграш сприятливі. Краще бути у безпеці, ніж шкодувати. Будь-хто, хто вигадує нові продукти, повинен добре про це пам'ятати. Споживач, який думає про зміну коробок або брендів, можливо, орієнтується на щось таке, що не має нічого спільного з логікою.

Боязнь втрати властива і математичним геніям. Щодо цього вони не відрізняються від усіх інших. Кажуть, що знаменитий математик Пол Ердеш, коли вперше почув про цюзагадці, вирішив її неправильно. «Навіть фізики, нобелівські лауреати регулярно дають неправильні відповіді, — розповів психолог Массімо П'яттеллі-Палмаріні, — причому вони наполягають на своєму невірному варіанті і готові рознести в пух і прах будь-кого, хто пропонує правильну відповідь».