Перетворення ірраціональних виразів
Що таке ірраціональні вирази?
Ірраціональні висловлювання починають зустрічатися на етапі знайомства з коренем у складі, що зазвичай відбувається під час уроків алгебри у 8 класі. Тут інтуїція підказує, що ірраціональні вирази пов'язані з корінням, і це дійсно так. Наступне визначення підтверджує наш здогад:
Ірраціональними виразаминазивають вирази, що містять операцію вилучення кореня. Інакше кажучи, ірраціональні висловлювання – це висловлювання з радикалами (вирази, які у своєму запису знаки кореня).
Якщо дано (є у виразі) корінь такого виду:
то це означає, що
Просто зазвичай у прикладах двійка не пишеться.
*Тому такий корінь і називають квадратним (корінь другого ступеня).
Якщо під коренем є ще корінь, можемо перетворити:
І ще одна дуже важлива властивість:
Воно легко доводиться. Ми знаємо, що:
Тобто, якщо ми маємо корінь якогось ступеня і під коренем вираз із таким самим ступенем, то в результаті вийде цей самий вираз.
Звичайно, є й інші, але вони часто використовуються вами при вирішенні завдань із звичайним квадратним коренем:
Основні види перетворень ірраціональних виразів
Відразу зауважимо, що при перетворенні ірраціональних виразів, як і при перетворенні будь-яких інших виразів, треба враховувати область допустимих значень (ОДЗ) і не допускати її звуження.
З ірраціональними висловлюваннями, як і з виразами інших видів, можна проводити будь-які з основних тотожних перетворень, розкриття дужок, угруповання і приведення подібних доданків і т.п. Це і зрозуміло, тому що в основі цих перетворень лежать такі властивості дій з числами, які є загальними.для чисел різних видів. p align="justify"> Також зрозуміло, що при проведенні перетворень ірраціональних виразів зберігається прийнятий порядок виконання дій. Покажемо рішення кількох прикладів.
Приклад.Перетворіть ірраціональний вираз .
Рішення.Для початку замінимо корінь з 81 його значенням 9 (при необхідності дивіться вилучення коренів), маємо
Очевидно, в отриманому виразі присутні подібні доданки, тому доцільно виконати їх приведення:
Приклад.Використовуючи формули скороченого множення, подайте ірраціональний вираз у вигляді добутку двох ірраціональних виразів.
Рішення.Очевидно, ірраціональне вираження в дужках є квадрат різниці, тобто, його можна замінити на , тому
А тепер дев'ятку можна переписати як32, після чого скористатися формулою різниця квадратів:
В результаті виконаних тотожних перетворень ми дійшли потрібного нам твору двох ірраціональних виразів.
Існує ще ряд перетворень, які стосуються саме ірраціональних виразів. Розглянемо основні їх.
Перетворення підкореного виразу
Одне з найважливіших перетворень ірраціональних виразів ось у чому: вираз під знаком кореня можна замінити тотожно рівним виразом. Спочатку наведемо приклади його виконання, після чого пояснимо, на чому воно базується.
Це твердження дозволяє працювати з підкореними висловлюваннями. Наприклад, воно дозволяє суму під коренем у виразі замінити її значенням, тобто перейти до кореня. Інший приклад: ірраціональний вираз можна замінити тотожно рівним йому виразом.
Чому це перетворення має місце? Справа вте, що коли давали визначення кореня у складі a, ми сказали про його єдиності. Тобто, не існує числаa1, відмінного відa, для якого справедлива рівність, ця рівність можлива лише заa=a1. Також ми знаємо, що значення тотожно рівних виразівAіA1рівні за будь-яких допустимих значень змінних. З цих фактів випливає твердження, що розбирається.
Використання властивостей коріння
Для тотожних перетворень ірраціональних виразів широко використовуються властивості коренів. Наприклад, використовуючи властивість , деa≥0,b≥0, від ірраціонального виразу можна перейти до тотожно рівного виразу. А властивість , деa≥0дозволяє вираз переписати як .
Перетворення ірраціональних виразів, що містять під знаками коренів негативні числа та вирази зі змінними, пов'язане з низкою нюансів. Наприклад, ми маємо права записати рівність виходячи з властивості коренів, вираженого формулою . Справа в тому, що зазначена формула дана для невід'ємного числаaі позитивногоb, а-7та-81- негативні числа. Але якщо попередньо замінити дріб під знаком кореня рівним їй дробом 7/81, то далі можна застосовувати згадану властивість коренів і переходити до виразу виду.
Подібні тонкощі в деталях розібрано у статті перетворення ірраціональних виразів з використанням властивостей коренів.
Властивості коренів лежать в основі двох наступних перетворень, які називаються внесенням під знак кореня та винесенням з-під знака кореня, до розгляду яких ми переходимо.
Внесення множника під знак кореня
Внесення множника під знак має на увазі заміну виразу , деBіC– деякі числа або вирази,аn- натуральне число, більше одиниці, тотожно рівним виразом, що мають вигляд або .
Наприклад, ірраціональний вираз після внесення множника2під знак кореня набуває вигляду .
Теоретичні основи цього перетворення, правила його проведення, а також рішення різноманітних характерних прикладів дано у статті внесення множника під знак кореня.
Винесення множника з-під знака кореня
Перетворенням, у сенсі зворотним внесення множника під знак кореня, є винесення множника з-під знака кореня. Воно полягає у поданні кореня у вигляді твору при непарнихnабо у вигляді твору при парнихn, деBтаC– деякі числа чи висловлювання.
За прикладом повернемося до попереднього пункту: ірраціональний вираз після винесення множника з-під знака кореня набуває вигляду. Інший приклад: винесення множника з-під знака кореня у виразі дає твір, який можна переписати як .
На чому базується це перетворення, і за якими правилами воно проводиться, розберемо в окремій статті винесення множника з-під знаку кореня. Там же наведемо рішення прикладів та перерахуємо способи приведення підкореного виразу до виду, зручного для винесення множника.
Перетворення дробів, що містять коріння
Ірраціональні вирази можуть містити дроби, в чисельнику і знаменнику яких є коріння. З такими дробами можна проводити будь-які з основних тотожних перетворень дробів.
По-перше, ніщо не заважає працювати з виразами в чисельнику та знаменнику. Як приклад розглянемо дріб. Ірраціональний вираз у чисельнику, очевидно, тотожно дорівнює, а, звернувшись до властивостей коренів, вираз у знаменнику можна замінити коренем.В результаті вихідний дріб перетворюється на вигляд.
По-друге, можна змінити знак перед дробом, змінивши знак чисельника чи знаменника. Наприклад, мають місце такі перетворення ірраціонального виразу: .
По-третє, іноді можна і доцільно провести скорочення дробу. Наприклад, як відмовити собі в задоволенні скоротити дріб на ірраціональний вираз, в результаті отримуємо.
Зрозуміло, що в багатьох випадках, перш ніж виконати скорочення дробу, вирази в її чисельнику і знаменнику доводиться розкладати на множники, чого в простих випадках дозволяють досягти формули скороченого множення. А іноді скоротити дріб допомагає заміна змінної, що дозволяє від вихідного дробу з ірраціональністю перейти до раціонального дробу, працювати з яким комфортніше та звичніше.
Наприклад візьмемо вираз. Введемо нові змінні і, у цих змінних вихідний вираз має вигляд. Виконавши в чисельнику розкладання многочлена на множники за формулою різницю квадратів, отримуємо можливість скоротити дріб наu+v, маємо . Виконавши зворотну заміну, приходимо до виразу, яке тотожно дорівнює вихідному ірраціональному виразу на ОДЗ.
По-четверте, дроби з ірраціональністю можна призводити до нового знаменника, помножуючи його чисельник та знаменник на додатковий множник. Наприклад, наведемо дріб до нового знаменникаx. Для цього її чисельник та знаменник слід помножити на ірраціональний вираз, маємо.
Нагадаємо, що виконувати скорочення дробів або приведення дробів до нового знаменника необхідно на ОДЗ змінних вихідного дробу.
Примноження чисельника та знаменника дробу на деякий ірраціональний вираз часто використовується для проведення перетворення, що називається позбавленням відірраціональності у знаменнику. Розберемо, як і проводиться.
Звільнення від ірраціональності у знаменнику
Звільненням від ірраціональності в знаменнику називають перетворення, при якому дріб замінюється тотожно рівним дробом, що не містить у знаменнику знаків коренів.
Наприклад, заміна дробу дробом є звільнення від ірраціональності у знаменнику.
Виникає питання: «Які дії необхідно вжити, щоб позбавитися ірраціональності в знаменнику дробу»? Відповідь на нього міститься у матеріалі статті звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу.
Перехід від коріння до ступенів
Перехід від коріння до ступенів при перетворенні ірраціональних виразів проводиться з урахуванням рівності , з допомогою якого дається визначення ступеня з оптимальним показником. Їм безбоязно можна користуватися, колиa– позитивне число,m– ціле число, аn– натуральне. Наприклад, корінь можна замінити ступенем із дробовим показником виду .
Якщо ж під коренем знаходиться негативне число або вираз зі змінними, формулою треба користуватися акуратно. Наприклад, ми маємо права відразу замінити коріння і ступенями виду і , оскільки формула немає сенсу для негативнихa. Як чинити в таких випадках розберемося у статті перехід від коріння до ступенів і назад.