1.Паралельність прямих
Теорема: якщо дві прямі паралельні третій прямий, то вони паралельні.
Доказ.Нехай дані дві прямі а і b. Припустимо, що вони не паралельні між собою. (Рис.1) Тоді вони перетинаються у певній точці З. Отже, через точку З проходять дві прямі, паралельні прямий з. А це неможливо згідно з аксіомою: через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну даній. Отже, прямі і b не перетинаються. Вони паралельні.
Рис.1 Теорема. Паралельність прямих.
2.Ознаки паралельності прямих
Теорема. Якщо внутрішні навхрест лежачі кути рівні або сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 градусів, то прямі паралельні.
Доказ.Нехай дано дві прямі a і b, які утворюють із сіткою АВ внутрішні навхрест лежачі кути (Рис. 2 а). Припустимо, що прямі a та b не паралельні. Тоді вони перетинаються в одній точці С. Січна АВ розбиває площину на дві напівплощини. І, отже, точка С лежить в одній із них і утворює трикутник АВС. Сторона АС належить прямій а. Сторона НД належить прямій b. (Мал. 2 б)
Відкладемо рівний трикутник ABC1 в іншій напівплощині з вершиною С1 так, щоб кут трикутника АВС збігся з кутом трикутника АВС1. Оскільки за умовою завдання сума внутрішніходносторонніх кутів дорівнює 180 градусів, сторона АС1 ляже на пряму а, ВС1 - на пряму b. Тоді точка С1 належить двом прямим: і b. Тобто. дві точки С та С1 одночасно належать двом прямим. А це неможливо. Отже, прямі a і b не перетинаються, вони паралельні.
|
Рис.2 Теорема. Ознаки паралельності прямих.
3.Властивість кутів при перетині паралельних прямих
Теорема. Якщо дві паралельні прямі пересічені третьою прямою, то внутрішні навхрест кути, що лежать, рівні і сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 градусів.
Доказ.Нехай a і b паралельні прямі. Пряма з перетинає їх у точках А та В. (Рис. 3)
Проведемо через точку А пряму а 1 так, щоб внутрішні навхрест лежачі кути, утворені між прямими а 1 і b і січної с, були рівні. Тоді за ознакою паралельності прямих вони є паралельними. Оскільки згідно з аксіомою про єдину паралельну пряму, що проходить через точку не лежить на даній прямій, така пряма може бути тільки одна, то прямі а і а 1 збігаються. А отже внутрішні навхрест лежачі кути, утворені між прямими а,b і січною с, рівні.
|
Рис.3 Теорема. Властивість кутів при перетині паралельних прямих.
4.Сума кутів трикутника
Теорема. Сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів.
Доказ.Нехай АВС даний трикутник. Проведемо через вершину пряму BD, паралельну стороні АС (Рис. 4).
Тоді кути α і α', γ і γ' рівні як внутрішні навхрест лежать. Оскільки пряма BD є розгорнутий кут з вершиною кута у точці, який дорівнює 180°, тобто. α' + β + γ' = 180°, то сума кутів трикутника дорівнює також 180°.Отже, дійшли висновку, що сума кутів трикутника, тобто. α + β + γ = 180 °.
|
Рис.4 Теорема. Сума кутів трикутника.
5. Єдиність перпендикуляра до прямої
Теорема. З будь-якої точки, що не лежить на даній прямій, можна опустити лише один перпендикуляр на дану пряму.
Доказ.Нехай дана пряма а і не лежача на ній точка А. Зазначимо на прямий а довільну точку, наприклад D. І проведемо через неї перпендикуляр. (Рис. 5)
Тепер проведемо через точку А пряму, паралельну нашій перпендикулярній до прямої. Вона також буде перпендикулярна до прямої а. Так як пряма а перпендикулярна одній з паралельних прямих, перпендикулярна і другий прямий. Відрізок АВ є перпендикуляр. Якщо припустити, що існує інший перпендикуляр, допустимо в точці С. То в трикутнику АВС утворюються два кути 90 градусів, а це неможливо. Отже відрізок АВ це єдиний перпендикуляр, що проходить через точку А.
|
Рис.5 Теорема. Єдиність перпендикуляра до прямої.
6. Висота, бісектриса та медіана трикутника
Висотою трикутника, проведеної з цієї вершини, називається перпендикуляр, опущений з цієї вершини на протилежну сторону.
Бісектрисою трикутника, проведеної з даної вершини, називається відрізок, що з'єднує цю вершину кута і протилежну сторону, і кут, що розділяє навпіл.
Медіаною трикутника, проведеної з даної вершини, називається відрізок, що з'єднує цю вершину і протилежну сторону, і ділить її навпіл.(Рис.6)
Рис.6 Висота, бісектриса та медіана трикутника.
7. Властивість медіани рівнобедреноготрикутника
Теорема. У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена з вершини кута до основи, є бісектрисою та висотою.
Доказ:
Нехай АВС - цей рівнобедрений трикутник з основою АС. Бічні сторони АВ і ПС рівні, ВD - медіана. Необхідно довести, що BD є бісектрисою та висотою.
Розглянемо трикутники ABD та BDC. Вони рівні за третьою ознакою рівності трикутників. АВ = ВС за умовою, AD = DC, тому що BD медіана, а сторона BD у них загальна. Отже, кути при вершині D рівні, оскільки вони є суміжними, то ∠ADB = ∠CDB = 90°.
З рівності трикутників ABD і BDC випливає рівність кутів при вершині, тобто. ∠AВD = ∠CВD = α.
Звідси можна зробити висновок, що медіана BD є бісектрисою та висотою.
Властивість медіани рівнобедреного трикутника.
8. Приклад 1
Дано пряму а і точку С, що не лежить на цій прямій. Необхідно довести, що через точку С можна провести пряму, паралельну до прямої а. (Рис.8)
Доказ:
Проведемо пряму b, паралельну до прямої а. Тоді, згідно з аксіомою 9, (через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму) проведемо пряму через точку С, паралельну прямій b.
Таким чином, виходить, що пряма з паралельна прямий b і пряма a також паралельна прямий b за побудовою. Отже, за теоремою про дві прямі, паралельні третій прямій, маємо, що дві прямі a і c паралельні прямій b і, отже, вони (прямі а і с) паралельні. Тобто. через точку З можна провести пряму, паралельну до прямої а.
Рис.8 Завдання. Дано пряму а і точку С .
Дано двіпаралельні прямі а і b і січна с. Доведіть, що бісектриси внутрішніх навхрест лежачих кутів, утворених цими прямими, паралельні (Рис.9)
Доказ:
Так як прямі а і b паралельні, то кути α і β, утворені цими паралельними прямими і січе с, рівні як внутрішні навхрест лежать, тобто. ∠α = ∠β. Згідно з визначенням, бісектриса - це промінь, що виходить з вершини кута між його сторонами, який ділить цей кут навпіл. Отже, бісектриси d1 і d2 ділять кути α і β навпіл.
Таким чином, оскільки кути α і β рівні, то кути α/2 і β/2 також рівні. А якщо кути α/2 і β/2 рівні, то вони є внутрішніми навхрест лежачими кутами, між січною з і прямими, на яких лежать промені d1 і d2, і відповідно до теореми: ознака паралельності прямих, промені d1 і d2 лежать на паралельних прямих .
Рис.9 Завдання. Дано дві паралельні прямі а і b і січна с.
Один із кутів рівнобедреного трикутника АВС дорівнює 100° (Рис.10). Знайти решту кутів трикутника.
Рішення:
Так як сума кутів трикутника становить 180 °, а два кути у рівнобедреного трикутника рівні, то вони не можуть дорівнювати 100 °. Отже, кути при вершинах А і С дорівнюють, а кут при вершині В = 100°.
Звідси випливає, що можна скласти співвідношення:
Відповідь: кути рівнобедреного трикутника складають: 100 °, 40 °, 40 °.
Рис.10 Завдання. Знайти кути трикутника.
Сума зовнішніх кутів трикутника АВС при вершах А та В дорівнює 240 ° (Рис.11). Знайдіть кут С трикутника АВС.
Рішення:
Оскільки сума кутів α + β + α1 + β1 = 360°, а
α1 + β1 = 240° за умовою завдання, то
А оскільки сума кутів трикутникастановить 180°, то
α + β + γ = 180 °, тобто.
Отже, γ = 60°
Відповідь: кут при вершині С = 60 °.
Рис.11 Завдання. Знайти кут трикутника.
У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС проведена бісектриса AD. Кут при вершині становить 36° (Рис.12). Доведіть, що трикутники CDA та ADB рівнобедрені.
Доказ:
Оскільки за умовою завдання трикутник АВС рівнобедрений, то кути при вершинах А і С дорівнюють:
α = 72°, оскільки AD бісектриса, то ∠BAD = ∠DAC, тобто.
Отже, трикутник ADB є рівнобедреним. Кути при вершинах А та В дорівнюють 36°.
Тепер розглянемо трикутник ADC. Кут λ дорівнює:
λ = 180 ° - (α / 2 + α)
Таким чином, трикутник ADC рівнобедрений. Кути при вершинах З і D дорівнюють 72°.
Рис.12 Завдання. У рівнобедреному трикутнику АВС.
|
