Побудова координат симетрії - Студопедія

Крім визначення коливального уявлення важливо визначити форму відповідних коливань. Найбільш систематична процедура визначення можливої ​​форми коливань заснована на застосуванні проекційних операторів до побудови коливальних координат, що перетворюють за відповідними уявленнями, що не приводяться. Цю процедуру можна застосувати до багатьох центрованих на атомах вектрів трансляцій. У цьому випадку отримаємо коливальні координати, виражені через усунення x, y, z кожного атома. Однак наочніше уявлення про форми коливань можна отримати при використанні внутрішніх координат: координати розтягування зв'язків, зміни валентних кутів, двогранних кутів і т.д. Як приклад побудуємо коливальні координати молекул H2O і NH3.

H2O. Коливальне уявлення Гvib = 2A1 + B2.

Введемо дві координати розтягування зв'язків r1 і r2 та координату a12, що описує зміну валентного кута між зв'язками.

Побудова коливальних координат, що перетворюються за певними неприведеними уявленнями точкової групи (далі координати симетрії), проводиться в кілька етапів.

1. Визначимо результати дії різних операцій симетрії на внутрішні координати r1, r2 та a12. Результати подаємо у вигляді таблиці.

С2v	E	C2	sv x z	sv y z
r1	r1	r2	r2	r1
r2	r2	r1	r1	r2
a12	a12	a12	a12	a12

2. Отримаємо координати симетрії. Для цього скористаємося методом проекційних операторів та впливаємоопратором на кожну внутрішню (природну) координату. Згадаємо, що в результаті дії проекційного оператора на пробну функцію f вийде нова функція f m , що перетворюється за m непредставленим уявленням групи:

, де m - індекс неприведеного уявлення, nm - розмірність уявлення; n – порядок групи; c m R - характер операції симетрії R в m-му неприведеному поданні; fR - функція в яку перетворюється пробна функція f в результаті операції симетрії R.

Побудуємо функції, що перетворюються за поданням A1.

Т.о. отримано три різні координати симетрії:

Перехід від природних координат координат до симетризованих можна у матричному вигляді:

абоS=UR, деS іR - матриця-стовпець координат симетрії та природних, відповідно.U - матриця переходу.

Тут матрицяU не є ортонормальною. Тобто. твір

не дорівнює одиничній матриці. Отже, щоб отримати ортонормовану матрицю U, потрібно пронормувати вирази для координат симетрії. Нормування проводиться так само, як нормування векторів. Після нормування отримаємо такі вирази для координат симетрії:

; ; .

Для отримання однакової розмірності координат симетрії зазвичай деформаційні координати множаться на величини рівноважних міжядерних відстаней. В результаті для H2O отримаємо:

; ; .

Вагання: Гvib = 2A1 + 2E.

Позначення природних координат та елементів симетрії групи С3v на рис.

Розглянемо дію операцій симетрії на кожну з природних координат молекули та результати подаємо у вигляді таблиці.

С3v	E	С3	С3 2	sv	sv'	sv"
r1	r1	r2	r3	r1	r3	r2
r2	r2	r3	r1	r3	r2	r1
r3	r3	r1	r2	r2	r1	r3
a12	a12	a23	a13	a13	a23	a12
a13	a13	a12	a23	a12	a13	a23
a23	a23	a13	a12	a23	a12	a13

Знайдемо проекції природних координат подання A1.

;

;

Для виродженого уявлення можна отримати множину наборів координат симетрії. Для отримання одного з наборів можна використати таку процедуру.

1. Виділити одну з підгруп та набір елементів симетрії, що утворюють цю підгрупу.

2. З прийнятого набору природних координат побудувати координати симетрії, що перетворюються за різними уявленнями виділеної виділеної підгрупи.

3. Отримані у п.2 координати спроектувати на відповідне вироджене уявлення групи. Для одержання ортогональних копмонентів виродженого коливання потрібно використовувати координати (п.2), отримані для різних неприведених уявлень виділеної підгрупи.

Розглянемо застосування цієї методики з прикладу молекули аміаку. Побудуємо координати симетрії для двічі виродженого уявлення Е.

Виділимо групи C3v погрупу симетрії Cs. Серед елементів симетрії групи можна виділити три набори складових погрупу Сs: v>, v> і v">. Візьмемоодин з них - v. Побудуємо координати перетворюються за уявленнями А' і A" підгрупи Csv>. Метод побудови вже застосовувався нами вище для одновимірних уявлень. У результаті отримаємо, що:

• за поданням А' виділеної підгрупи Csv> перетворюються координати r1 та a23;
• за поданням A" перетворюється комбінація координат (r2-r3) і (a12-a13).

Побудуємо проекцію координат, відповідних уявленням А' і A" підгрупи Csv", на двічі вироджене уявлення групи С3v.

Т.о. після проведення нормування та приведення координат до однієї розмірності отримано для молекули NH3 (C3v) наступний набір коодинат симетрії:

; ;

[На практиці визначити коливальне уявлення та побудувати координати симетрії для наступних типів молекул:

У разі надмірного набору координат – відкинути залежні.]

Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:

Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно

---