Подвійні та потрійні інтеграли

Анна Березнікова 2 роки тому Переглядів:

1 Кафедра медичної та біологічної фізики Диференційне та інтегральне числення Тема лекції: Подвійні та потрійні інтеграли Лекція 1 Для студентів 1 курсу студентів за спеціальністю «Медична кібернетика» Лектор: Титов Л.С. Красноярськ 216

2 МЕТА ЛЕКЦІЇ: Дати визначення та методи обчислення кратних інтегралів, а також їх застосування до геометричних та фізичних завдань.

3 ПЛАН ЛЕКЦІЇ: 1. Межа інтегральних сум. 2. Зведення подвійного інтеграла до повторного. 3. Використання циліндричної та сферичної системи координат. 4. Інтеграл Ейлера-Пуассона. 5. Геометричні та фізичні додатки.

4 1. Межа інтегральних сум. Визначимо подвійний інтеграл ff xx, yy dddd по деякій області SS у площині XXXX як межа інтегральних сум ff xx, yy dddd = lim ff xx kk, yy kk SS kk, max SS kk аналогічно тому, як визначався певний інтеграл у лекції 8. точки xx kk, yy kk лежать у осередку з площею SS kk. Розмір осередків прагне нуля. Інтеграл тоді дасть об'єм циліндра з висотою ff xx, yy.

5 1. Межа інтегральних сум. Подвійним інтегралом ff xx, yy dddd називається межа відповідної двовимірної інтегральної суми при необмеженому зростанні числа осередків SS kk і прагненні до нуля їх найбільшого діаметра за умови, що ця межа існує і не залежить від способу дроблення області SS на елементарні ячей xx kk, yy kk у них. Теорема. Інтеграл існує, якщо функція ff xx, yy безперервна в області S, а область обмежена шматково-гладким кордоном.

6 1. Межа інтегральних сум. Зауважимо, що значення подвійного інтеграла визначається як функцією ff xx, yy, а й формою кордону, визначальною область SS. Тому не можна запровадитипоняття подвійного невизначеного інтегралу Зазвичай, на площині XXXX використовується прямокутна сітка. І тут елементарними осередками є прямокутники з площею SS kk = xx kk yy kk. Тоді ff xx, yy dddd = ff xx, yy ddxxxxxx. SS SS

7 1. Межа інтегральних сум. Аналогічно можна визначити потрійний інтеграл як межу інтегральних сум VV ff xx, yy, zz dddd = lim ff xx kk, yy kk, zz kk VV kk. max VV kk Фізично, потрійний інтеграл можна розглядати як обчислення маси неоднорідного тіла з щільністю маси ff xx, yy, zz. Також можна визначити такі n-кратні інтеграли.

8 1. Межа інтегральних сум. Властивості подвійних/потрійних інтегралів очевидні 1) Лінійність (AA, BB константи, функції ff і gg інтегровані) AAAA xx, yy + BBBB xx, yy 2) Оцінка за модулем dddd = AA ff xx, yy dddd + BB gg xx, yy . ff xx, yy dddd ff(xx, yy dddd. 3) Площа плоскої області, об'єм тіла SS = dddd, VV = dddd.

9 2. Зведення подвійного інтеграла до повторного. При обчисленнях, як правило, подвійний інтеграл зводять до повторного. a) Нехай область є прямокутником aa xx bb, cc yy dd. Заштрихована площа y y = aa bb ff xx, yy dddd при фіксованому yy = yy oo. Інтеграл V = ff xx, yy dddd = cc dd σσ yy dddd = cc dd dddd aa bb ff(xx, yy) ddxx.

10 2. Зведення подвійного інтеграла до повторного. Можна було виконати інтегрування в іншому порядку і отримати формулу ff xx, yy dddd = aa bb ddxx cc dd ff(xx, yy) ddyy = cc dd dddd aa bb ff(xx, yy) dddd. На жаль, просто заміна порядку інтегрування виконується тільки для прямокутної області. dd cc

11 2. Зведення подвійного інтеграла до повторного. b) Якщо область обмежена при aa xx bb кривими yy 1 (xx) yy yy 2 (xx) (правильна або стандартна область вздовж осі yy), то ff xx,yy dddd = aa bb yy 2 (xx) dddd yy 1 (xx) ff(xx, yy) dddd.

12 2. Зведення подвійного інтеграла до повторного. c) Якщо область обмежена при A yy BB кривими xx 1 (yy) xx xx 2 (yy) (правильна область вздовж осі xx), тоді ff xx, yy dddd = BB = AA xx 2 (yy) ddyy ff(xx, yy ) ddxx. xx 1 (yy) У загальному випадку є сенс розбити область інтегрування на ділянки, види a), b), c).

13 2. Зведення подвійного інтеграла до повторного. приклад. II = SS xx 2 yyyyyyyyyyy, де SS трикутник, обмежений прямими yy =, yy = xx/2, xx = 2. 1) Спочатку можна виконати інтегрування по yy від до yy = xx/2, потім по x від до 2: II = 2 2 = xx 2 dddd xx 2 dddd xx/2 yy 2 2 xx/2 yyyyyy = 2 xx 4 = 8 xx 5 2 dddd = =

14 2. Зведення подвійного інтеграла до повторного. 2) Можна зробити навпаки. Область інтегрування опукла (правильна вздовж обох осей). Можна спочатку виконати інтегрування по xx в межах xx = 2yy до 2, а потім по yy від до 1. = II = 1 yy ddyy 2 2yy yy yy 4 ddyy = 1 xx 2 ddxx = yyddyy 8 3 = yy = = 4 5. Результати, очевидно, збігаються. Слід вибирати спосіб, який простіше.

15 2. Зведення подвійного інтеграла до повторного. Для потрійного інтеграла процедура повторного зведення проводиться аналогічно. Зрозуміло, що в цьому випадку вона ускладнюється через тривимірну область інтегрування. Обчисліть xxxxxx dddddddddddd за обсягом піраміди, обмеженою наступними площинами xx =, yy =, z =, xx + yy + zz = 1. Відповідь: 1/72.

16 3. Використання циліндричної та сферичної системи координат. Якщо область інтегрування в подвійному/потрійному інтегралі має відповідну симетрію, то обчислення спрощуються при використанні циліндричної або сферичної системи координат замість прямокутної декартової. У математичних курсах перехід до іншихкоординатам здійснюється шляхом заміни змінних у подвійному/потрійному інтегралі та обчислення якобіана переходу. Ми обмежимося геометричним перетворенням площі/об'єму осередку інтегрування.

17 3. Використання циліндричної та сферичної системи координат. 1) Циліндрична система координат визначає положення точки в просторі за допомогою трьох координат rr, φφ, zz. Часто замість rr zz використовують літеру ρρ. Величина rr завжди позитивна, φφ 18 3. Використання циліндричної та сферичної системи координат. Елемент площі в полярних координатах dddd = rrrrrrrrφφ. Елемент об'єму в циліндричних координатах dddd = rrrrrrrrφφφφφφφ.

19 3. Використання циліндричної та сферичної системи координат. Знайдемо, наприклад, площа сектора з кутом при вершині φ і радіусом rr. rr φφ SS = dddd = rrrrrrrrφφ = rrrrrr dddd подвійний інтеграл перетворився на твір інтегралів SS = rr 2 2 φφ 2 = ππrr φφ 2ππ. Отримали - добуток площі кола на відношення кута φφ до повного кута 2ππ.

20 3. Використання циліндричної та сферичної системи координат. 2) Сферична система координат задає положення точки у просторі за допомогою трьох координат rr, θθ, φφ. rr - відстань на початок координат; θθ 21 3. Використання циліндричної та сферичної системи координат. Елемент площі на сфері dddd = rr 2 sin θθ ddθθddφφ. Елемент об'єму у сферичних координатах dddd = rr 2 sin θθ ddddddθθddφφ.

22 4. Інтеграл Ейлера-Пуассона. Як приклад використання полярної системи координат розглянемо інтеграл Ейлера-Пуассона II = ee xx2 dddd. Інтеграл виникає в задачах статистики і відноситься до «неберуться» інтегралів (первоподібний нескінченний ряд). Обчислимо квадрат інтеграла II 2 = ee xx2 dddd ee yy2 ddyy = ee (xx2 + yy 2) dddddddd.

23 4.Інтеграл Ейлер-Пуассон. Маємо подвійний інтеграл на всій площі площини XXXX. Інтегрована функція залежить тільки від xx 2 + yy 2 = rr 2, тому зручно перейти до інтегрування в полярних координатах II 2 = ee (xx2 + yy 2) dddddddd = 2π dddd ddφφ rrrr rrd розставлені межі інтегрування у всій площині. Інтегрування за φφ дає II 2 = 2ππ rrrr rr2 ddrr.

24 4. Інтеграл Ейлера-Пуассона. Інтеграл, що вийшов, тепер легко знайти через наявність множника rr II 2 = 2ππ rrrr rr2 dddd = ππ Шуканий інтеграл II = ee uu dduu = ππ ee xx2 dddd = ππ. ee uu = ππ. Через парність підінтегральної функції ee xx2 dddd = ππ 2.

25 5. Геометричні та фізичні додатки. Подвійні та потрійні інтеграли широко використовуються для знаходження обсягів, площ, мас, моментів. Обмежимося двома програмами. 1) Центр тяжкості плоскої фігури можна знайти, обчислюючи відношення моменту (сили) до маси (ваги). Координати центру тяжкості xx cc = xx ρρ xx, yy ddddddddd SS yy cc = yy ρρ xx, yy ddddddddd SS, ρρ xx, yy dddddddd ρρ xx, yy dddddddd SS x де y.

26 5. Геометричні та фізичні додатки. У разі однорідної пластини на щільність можна скоротити xx cc = xx ddddddddd SS = xx ddddddddd SS; dddddddd SS SS yy cc = SS SS yy dddddddd dddddddd = SS yy dddddddd. SS Буквою SS тут позначено площу пластини та область інтегрування по пластині.

27 5. Геометричні та фізичні програми. 2) Моменти інерції тіла щодо осей координат обчислюються так JJ xx = (yy 2 +zz 2 )ρρ(xx, yy, zz) dddd; JJ yy = (xx 2 +zz 2 )ρρ(xx, yy, zz) dddd; JJ zz = (xx 2 +yy 2 )ρρ(xx, yy, zz) dddd. Моменти інерції у обертанні відіграють ту ж роль, що і маси припоступальний рух.

28 5. Геометричні та фізичні додатки. а) Обчислимо, наприклад, момент інерції однорідного диска щодо осі обертання, що проходить його центр. Диск радіуса rr завтовшки h, щільністю ρρ. Використовуємо циліндричні координати, вісь обертання JJ zz = rr 2 ρρ dddd = rr 2 ρρ hrrrrrrrrrrr, оскільки елемент об'єму hrrrrrrrrrrr. Отримаємо rr rr JJ zz = 2πππππ 3 dddd = 1 2 πππππrr 4 = 1 2 πππππrr 2 rr 2 = 1 2 mmrr 2, де mm маса диска.

29 5. Геометричні та фізичні додатки. б) Знайдемо момент інерції однорідної кулі маси mm, радіуса rr щодо осі, що проходить через центр кулі (вісь zz). У сферичних координатах відстань до осі обертання дорівнює rr sin θθ, тому JJ zz = (rr sin θθ) 2 ρρ dddd = ρρrr 4 sin 3 θθ dddddddddddd. ππ Інтеграл sin 3 1 θθdddd = 1 1 uu 2 dddd = 4 3 (uu = cos θθ). Отримаємо JJ zz = 8ππ = 2 5 ρρ 4 ππrr 3 3 rr 2 = 2 mmrr 5 2, де mm маса кулі.

30 РЕКОМЕНДУЄМА ЛІТЕРАТУРА Основна: 1. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Короткий курс вищої математики: Навч. посібник для вузів – М.: АСТ, 21 (глава 24). 2. Шипачов В.С. Задачник з вищої математики М: Вища школа, 23. Електронні ресурси: ЕБС КрасДМУ Ресурси інтернет

31 РЕКОМЕНДУЄМА ЛІТЕРАТУРА Додаткова: 1. Вища математика / К.В. Балдін, В.М. Башликов, А.В. Рукосуєв - М: ФЛІНТА, Богомолов Н.В. Практичні заняття з математики М.: Юрайт, Математика в прикладах і завданнях: навчальний посібник / Л.Н.Журбенко, Г.А. Ніконова, Н.В.Ніконова та ін. - М.: ІНФРА-М, 21.

---