Показова функція, її властивості та найпростіші показові нерівності
На цьому уроці ми повторимо визначення показової функції, її властивості та графіки для різних значень основи ступеня, розглянемо розв'язання найпростіших показових нерівностей.
Показова функція з основою, великою одиниці, методика розв'язання нерівностей
Нагадаємо властивості показової функції з основою, більшою за одиницю.
:
х – аргумент, незалежна змінна; у – функція, залежна змінна.
Мал. 1. Графік показової функції, основа ступеня більше одиниці
Графік функції експонента (рис. 1).
Основні властивості даного сімейства функцій:
1. Область визначення: .
2. Область значень: .
3. Функція зростає, тобто більшого значення аргументу відповідає більше значення функції.
4. Якщо аргумент прагне мінус нескінченності, функція прагне нуля, якщо аргумент прагне плюс нескінченності функція прагне також плюс нескінченності.
Монотонне зростання функцій даного сімейства є ключем до розв'язання показових нерівностей, за умови, що підстава ступеня більша за одиницю.
Методика розв'язання подібних нерівностей:
1. Зрівняти основи ступенів.
2. Порівняти показники, зберігши знак нерівності.
Показова функція з основою, меншою одиниці, методика розв'язання нерівностей
Нагадаємо властивості показової функції з основою, меншою одиниці, але більшою за нуль (рис. 2).
:
Мал. 2. Графік показової функції, основа ступеня менше одиниці.
Властивості даного сімейства функцій:
1. Область визначення: .
2. Область значень: .
3. Функція зменшується, тобто більшому значенню аргументу відповідає менше значенняфункції.
4. Якщо аргумент прагне мінус нескінченності, функція прагне плюс нескінченності, якщо аргумент прагне плюс нескінченності функція прагне нулю.
Монотонне зменшення функцій даного сімейства є ключем до розв'язання показових нерівностей, за умови, що основа ступеня менше одиниці, але більше нуля.
Методика розв'язання подібних нерівностей:
1. Зрівняти основи ступенів.
2. Порівняти показники, змінивши знак нерівності.
Рішення конкретних прикладів
Закріпимо наведену методику розв'язанням конкретних нерівностей.
а)
б)
Мал. 3. Ілюстрація наприклад 1.б
Графік функції та пряма перетинаються у точці з координатами (4; 81). Тобто при . За умовою нам потрібно визначити коли , це виконується тоді і тільки тоді, коли .
Мал. 4. Ілюстрація з прикладу 2
Графік функції та пряма перетинаються у точці з координатами (5; ). Тобто при . За умовою нам потрібно визначити коли , це виконується тоді і тільки тоді, коли .
Мал. 5. Ілюстрація з прикладу 3
Графік функції та пряма перетинаються в точці з координатами (-1; 3). Тобто при . За умовою нам потрібно визначити, коли . Це виконується і тоді, коли .
Отже, ми розглянули розв'язання найпростіших показових нерівностей, наступного уроку ми перейдемо вирішення показових рівнянь.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра та початку математичного аналізу. - М.: Мнемозіна. Муравін Г. К., Муравіна О. В. Алгебра та початку математичного аналізу. - М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудніцин Ю. П. та ін Алгебра і початку математичного аналізу. - М.: Просвітництво.
Домашнєзавдання
Алгебра та початку аналізу, 10-11 клас (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин) 1990 № 466,467. Вирішити нерівності:
а); б); в); г). Вирішити нерівності:
а); б); в); г).
Додаткові рекомендовані посилання на ресурси Інтернету
Mathematics-репетиція. com. Terver. ru . Yourtutor. info.