Полегшений резерв

При полегшеному резерві резервні елементи до моменту включення перебувають у полегшеному режимі роботи, що характеризується зниженим значенням інтенсивності відмов. Для випадку, коли всі елементи (основний і резервні) однакові, і відмови мають раптовий характер (напрацювання повністю елементів розподілена за експоненційним законом), акад. Гнєденко Б.В. /17/ отримано наближену формулу, справедливу при високих значеннях ймовірності безвідмовної роботи (малих t):

, (6.7)

де  – інтенсивність відмов у робочому режимі; 1 - інтенсивність відмов у полегшеному режимі (1

Рис.6.7. Модель надійності технологічної системи:

а – вихідна структурна схема; б - структурна схема під час реалізації

гіпотези А5; в – структурна схема при реалізації гіпотези

;

г - структурна схема після перетворення "трикутник-зірка"

Ймовірність безвідмовної роботи елементів системи протягом часу t вважаємо відомими P(Ai) = pi (i = 1,2, …, 5).

Розглянута система має структуру, що не зводиться до схем послідовного або паралельного з'єднання. Розрахунок надійності таких систем передбачає використання спеціальних методів перетворення структури. Розглянемо два такі методи.

Перетворення структури розкладанням

за базовим елементом

Розглянемо дві протилежні гіпотези:

1) гіпотеза А5-елемент 5 системи зберігає працездатність протягом часу t;

2) гіпотеза - елемент 5 системи відмовив протягом часу t.

Випадкова подія А - працездатний стан системи загалом протягом часу t - може здійснитися лише разом із однією з цих гіпотез, тобто.

.

Можливість безвідмовної роботисистеми, віднесена на момент часу t, дорівнює (формула повної ймовірності):

. (6.9)

За умови реалізації першої гіпотези структура системи має вигляд, поданий на рис. 6.7,б, тобто. є двома послідовно з'єднаними ланцюгами з двох паралельно включених елементів. Умовна ймовірність безвідмовної роботи системи, яка визначається за умови реалізації першої гіпотези, становитиме

.

Аналогічно, за умови реалізації другої гіпотези структура системи має вигляд, поданий на рис. 6.7,в, тобто. являє собою два паралельно з'єднані ланцюги із двох послідовно включених елементів. Умовна ймовірність безвідмовної роботи системи, яка визначається за умови реалізації другої гіпотези, складе

.

На підставі формули (6.9) ймовірність безвідмовної роботи системи становитиме

. (6.10)

Перетворення структурної схеми системи еквівалентної

заміною трикутника зіркою

Розглянемо спосіб перетворення моделей надійності систем еквівалентної заміною «трикутник - зірка», аналогічний методу, застосовуваному в електротехніці під час аналізу електричних важливих схем (рис.6.8).

Структурна формула випадкової події - відмова в системі між вузлами 1 і 2 - має вигляд:

. (6.11)

для схеми "трикутник" для схеми "зірка"

; (6.12)

, (6.13)

де

- випадкові події - відмови відповідних елементів схем "трикутник" ("зірка"), i, j=1, 2, 3.

Використовуючи формулу складання ймовірностей сумісних випадкових подій P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB), на підставі формул (6.11)-(6.13) можна скласти систему з трьох рівнянь (імовірності відмов qi (qij) окремих елементів передбачаються відомими,оскільки системи мають розчленовану структуру):

; (6.14)

; (6.15)

. (6.16)

Нехтуючи у лівій частині рівнянь (6.14)-(6.16) потрійними творами ймовірностей відмов qiqjqk , а правій частині - подвійними творами qiqj, отримаємо:

; (6.17)

; (6.18)

. (6.19)

Вирішуючи систему рівнянь (6.17)-(6.19) щодо qi, отримаємо формули перетворення «трикутник – зірка»:

; (6.20)

; (6.21)

. (6.22)

Формули зворотного перетворення «зірка – трикутник»:

; (6.23)

; (6.24)

. (6.25)

Повернемося до розгляду моделі надійності технологічної системи, структурну схему якої зображено на рис. 6.7,а. Після застосування перетворення «трикутник - зірка» до підсистеми, що складається з елементів 1, 3, 5, структура системи набуде вигляду схеми паралельно-послідовного з'єднання, показаної на рис. 6.7,г. Імовірності безвідмовної роботи елементів a, b, c перетвореної схеми дорівнюють:

;

;

.

Ймовірність безвідмовної роботи системи (формула є наближеною з урахуванням спрощень, прийнятих під час переходу до системи рівнянь (6.17)-(6.19):

.

---