Поняття про фазовий простір
Сторінки роботи
зміст роботи
Лекція 11.Поняття про фазовий простір. Метод фазової площини.
Фазовий простір, або простір станів системи, цеn-мірний простір, координатами в якому є фазові змінні (змінні стани) системи. Розмірність фазового простору відповідає розмірності системи, тобто порядку системи диференціальних рівнянь у нормальній формі (формі Коші), що описують цю систему.
Загалом для нелінійної системи така модель має вигляд:
i =1,2.n, (11.1)
де ji- нелінійні функції;xi- фазові змінні системи;g,f– задає та обурююча дія (можливо, векторні функції).
Якщо використовувати вектор фазових змінних, можна записати цю модель у векторній формі:
. (11.2)
Аргументtв рівняннях (11.1)-(11.2) є тільки для нестаціонарних систем.
Додатково зазначимо, що значенняправих частин рівнянь (11.1) дають проекції вектора швидкості руху зображувальної точки фазової траєкторії для будь-якого моменту часу, що розглядається.
Для вирішення практичних завдань використовувати відображення процесу в системі в багатовимірному фазовому просторі, як правило, не вдається. Тому найбільш поширеним варіантом використання апарату, що розглядається, є метод фазової площини, коли розглядаються тільки два змінні стани системи і фазові траєкторії являють собою плоскі криві (рис. 52). Очевидно, метод фазової площини дозволяє отримати повну картину процесу лише для систем другого порядку. Для таких систем він переважно й застосовується.
У більшості випадків при використанні методу фазової площини вхідні сигналиgіfприймають рівними нулю і розглядають процеси, викликані початковими відхиленнями фазових змінних від значень, що встановилися. Для стаціонарної системи другого порядку система рівнянь (11.1) при цьому набуде вигляду:
. (11.3)
Сукупність фазових траєкторій, отриманих різних початкових умов, називають фазовим портретом системи.
Зазначимо, що з використанні математичної моделі системи фізичний зміст фазових змінних не враховується. Тому навіть для системи другого порядку формально можуть розглядатися різні пари (x1,x2) з відповідними замінами змінних рівнянь (11.3). Вибір фазових змінних проводиться залежно від задачі, що вирішується, для зручності її вирішення.
Найбільш поширений варіант вибору фазових змінних передбачає безпосередній зв'язок між ними наступного виду. Тоді рівняння (11.3) спрощуються:
,
. (11.4)
Зручність такої моделі приВикористання методу фазової площини визначається тим, що для неї вертикальна координата є похідною від горизонтальної. Внаслідок цього фазові траєкторії підпорядковуються наступним правилам:
1. У верхній півплощині рух зображувальної точки фазової траєкторії можливий тільки зліва направо, в нижній - тільки у зворотному напрямку.
Пояснюється це тим, що з верхньої полуплоскости , тобто за знаходження тут зображуючої точки її горизонтальна координата обов'язково збільшується. Для нижньої напівплощини і справедливо протилежне.
2. Фазові траєкторії перетинають горизонтальну вісь лише під прямим кутом.
У точках перетину з горизонтальною віссю , тобто при перетині осі горизонтальна координата точки, що зображає, не змінюється, і дотична до фазової траєкторії спрямована вертикально.
3. Фазові траєкторії не можуть перетинатися.
Це справедливо для систем другого порядку за будь-якого вибору фазових змінних, якщо рівняння системи містять перемінних у часі вхідних сигналів. У всякому разі, воно справедливе для моделей виду (11.3)-(11.4), які для будь-якої точки фазового простору дають однозначні значення складових вектора швидкості руху зображувальної точки.
Розглянемо деякі приклади, що демонструють зв'язок фазових траєкторій з часовими характеристиками та заснований на ній спосіб побудови фазових траєкторій.
Для коливальної ланки з передавальною функцією
за відсутності вхідного сигналу стан рівновагу стійко і збігається з початком координат, перехідний процес порушується початковими умовами для вихідного сигналу і його похідної, які позначимо відповідноx1 іx2. Закони зміниx1 таx2 показані на рис. 53а. На їх графіки нанесені точки, що відповідають екстремумам і нулям функцій, що розглядаються. Відповідні точки є основою для побудови фазової траєкторії на площині з координатамиx1 таx2 (рис. 53б).
Нижче наведено аналогічну побудову для нестійкої аперіодичної ланки з передатною функцією.
Як фазові координати вибираються вихідний сигнал ланкиx1 та її похідна . За відсутності вхідного сигналу розглядається процес, який ініціюється початковими умовами. Диференціальне рівняння ланки набуде вигляду:
.
Його рішення:Tp-1=0, , .
Закон зміни похідної отримаємо диференціюванням:
.
Таким чином, вертикальна координата початкової точки для фазової траєкторії: а рівняння фазової траєкторії є рівнянням прямої, що проходить через початок координат: . Фазова траєкторія показана малюнку 54.
Повернімося до системи рівнянь (11.3). Станам рівноваги системи відповідає сталість фазових змінних, тобто звернення до нуля їх похідних. Для лінійної системи можливий лише один стан рівноваги. У нелінійної системи може бути кілька. Кожному стану рівноваги відповідає деяка точка фазової площині.
На основі (11.3) може бути отримано єдине диференціальне рівняння фазової траєкторії:
. (11.5)
Його права частина дає кут нахилу дотичної до фазової траєкторії, тобто напрямок вектора швидкості зображувальної точки. Це справедливо для будь-якої точки фазової площини, за винятком точок, які відповідають станам рівноваги. Для них праві частини рівнянь (11.3) звертаються в нуль, та у правій частинірівняння (11.5) виникає невизначеність. Тому такі точки називають спеціальними точками на фазовій площині.
Розглянутий вище спосіб побудови фазових траєкторій вимагає отримання законів зміни фазових зміннихx1(t) таx2(t). Це забезпечується шляхом розв'язання систем рівнянь виду (11.4) або (11.5). Для нелінійних систем у більшості випадків потрібне застосування наближених чисельних методів. У цьому побудова фазового портрета системи пов'язані з багаторазовим рішенням рівнянь.
Тому часто зручнішим виявляється аналіз особливих точок і особливих ліній на фазовій площині, що дозволяє скласти досить повне уявлення про фазовий портрет і властивостях системи, що відбиваються ним.