Поняття про фрактальну розмірність
Л
N-кількість відрізків, розмірома.
D – «ступінь згинання»
К
Фрактальна розмірність множини
Об'єм фракталу у своєму просторі вкладення завжди дорівнює нулю. Він, однак, може бути відмінний від нуля у просторі меншої розмірності. Щоб визначити розмірність цього просторуD, розіб'ємо всеn-мірний простір на малі кубики з довжиною ребраεі об'ємомεn- рис.1. НехайN(ε) — мінімальна кількість кубиків, які в сукупності повністю покривають фрактальну множину, тоді за визначенням
Цю величину зазвичай називають хаусдорфової або фрактальної розмірністю.
Мал. 1.Як знайти фрактальну розмірність?
Існування цієї межі означає кінцівку обсягу фракталу вD-мірному просторі: при маломуε
деV=const. Таким чином,N(ε) є не що інше, як числоD-мірних кубиків, що покривають вD-мірному просторі об'ємV. Оскільки покривають фракталn-мірні кубики можуть виявитися майже порожніми.
Для відрізка досить гладкої лінії довжиниL:N(ε) =L/εі томуD= 1. Для майданчикаSдвовимірної поверхні:N(ε) =S/ε2 іD= 2 і т.д.
Рекурсивний алгоритм побудови конструктивних фракталів.
Трикутник Серпінського
Трикутник Серпінського— фрактал, один із двовимірних аналогів безлічі Кантора, запропонований польським математиком Серпінським у 1915 році. Також відомий як «решітка» або «серветка» Серпінського.
Побудова
Беретьсясуцільний рівносторонній трикутник, на першому кроці з центру видаляється начинка серединного трикутника. На другому кроці видаляється три серединні трикутники з трьох трикутників, що залишилися і т. д. Після нескінченного повторення цієї процедури, від суцільного трикутника залишається підмножина - трикутник Серпінського.
Побудова трикутника Серпінського
Трикутник Серпінського можна отримати за наступним алгоритмом:
Взяти три точки на площині і намалювати трикутник.
Випадково вибрати будь-яку точку всередині трикутника і просунутися на половину відстані від цієї точки до будь-якої з трьох вершин трикутника.
Відзначити поточну позицію.
Повторити з кроку 2.
Трикутник Серпінського замкнутий.
Трикутник Серпінського має топологічну розмірність 1.
має проміжну (тобто не цілу) Хаусдорфову розмірність. Зокрема,
має нульовий захід Лебега.
Трикутник Серпінського виходить із Трикутника Паскалярозглядом парних чисел як точок, що належать трикутнику Серпінського і непарних - як не належать.