Порівняння відносної частоти, що спостерігається, з гіпотетичною ймовірністю появи події
Нехай за досить великою кількістю незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події постійна, але невідома, знайдена відносна частота т/п. Нехай є підстави припускати, що невідома ймовірність дорівнює гіпотетичному значеннюр>
Оскільки ймовірність оцінюється по відносній частоті, завдання можна сформулювати і так: потрібно встановити, значимо або незначно розрізняються спостерігається відносна частота і гіпотетична ймовірність.
Як критерій перевірки нульової гіпотези приймемо випадкову величину
,
ВеличинаUпри справедливості нульової гіпотези розподілена приблизно нормально з параметрамиM(U)=0, σ(U)=1.
Пояснення. Доведено (теорема Лапласа), що при досить великих значенняхпвідносна частота має приблизно нормальний розподіл з математичним очікуваннямрі середнім квадратичним відхиленням.Нормуючи відносну частоту (віднімаючи математичне очікування і поділяючи на середнє квадратичне відхилення), отримаємо
,
При справедливості нульової гіпотези, тобто при р = рo,
Зауваження 1. Далі спостерігається частота позначається черезт/пна відміну від випадкової величиниМ/п.
Оскільки тут критична область будується так само, як і в § 10, наведемо лише правила перевірки нульової гіпотези та приклад, що ілюструє.
Правило 1. Для того щоб при заданому рівні значущості перевірити нульову гіпотезуАле: р = рo прорівністьневідомої ймовірності гіпотетичної ймовірності при конкуруючій гіпотезіН1:р ≠ рo,треба обчислити значення критерію, що спостерігається:
і за таблицею функції Лапласа знайти критичну точкуuкр за рівністю Ф(uкр) = (1-α)/2.
ЯкщоUнаблuкр - нульову гіпотезу відкидають.
Правило 2. При конкуруючій гіпотезіН1: р > рoзнаходять критичну точку рівносторонньої критичної області за рівністю Ф(uкр) = (1-2α)/2.
ЯкщоUнаблuкр - нульову гіпотезу відкидають.
Правило 3. При конкуруючій гіпотезіН1: р'= -uкр-
ЯкщоUнабл > -uкр - немає підстав відкинути нульову гіпотезу.
Приклад. По 100 незалежних випробувань знайдено відносну частоту 0,08. При рівні значимості 0,05 перевірити нульову гіпотезуНо: р = рo= 0,12 при конкуруючій гіпотезіН1:р ≠0,12.
Рішення. Знайдемо значення критерію, що спостерігається
За умовою конкуруюча гіпотеза має виглядр ≠ рo,тому критична область двостороння.
Знайдемо критичну точкуuкр по рівності
За таблицею функції Лапласа (див. додаток 2) знаходимоuкр= 1,96. ОскількиUнабл