Просто і доступно про матриці
Наведений нижче текст є частиною книги «Перший крок у квантову реальність».
12. Матричні вирази.
Після того, як операції з матрицями визначені, з матриць можна складати різні вирази.
є дуже коротким та економним записом будь-якого неоднорідного лінійного перетворення, що містить аргументів, функцій та вільних членів:
де і - коефіцієнти при аргументах та вільні члени відповідно,,.
13. Транспонування матричних виразів
Неважко безпосередньо переконатися, що операція множення матриці на число чи операція обчислення суми (різниці) матриць перестановочні з операцією транспонування.
Тобто. можна спочатку помножити матрицю на число, а потім транспонувати результат, або можна спочатку транспонувати матрицю, а потім помножити її на те саме число. — Результат буде однаковий.
Або можна скласти дві матриці, а потім транспонувати результат, або можна спочатку транспонувати матриці, а потім їх складати. — Результат також буде однаковий.
Щодо множення матриць, то тут ситуація інша.
Звернемося до схеми множення матриць та розглянемо твір АВ:
При перемноженні стовпців не важливо, який стовпець стоїть праворуч, а який зліва, тому поміняємо матриці місцями:
З правила множення матриць зрозуміло, що лівим множником матриці АТ повинна бути така матриця, яка при транспонуванні дасть матрицю В. Отже, це матриця Т .
Отже, можна множити або АВ, або В Т А Т , матричні елементи виходять однакові.
Тепер розглянемо матричний елемент твору АВ, розташований у p-му рядку і q-мстовпці. Це означає, що цей елемент вийшов при перемноженні p-ого стовпця матриці АТ і q-ого стовпця матриці.
Після перестановки матриць місцями виявиться, що тепер цей матричний елемент розташований в p-му стовпці результату і, очевидно, в рядку q. Тобто. рядки і стовпці помінялися місцями, інакше кажучи, твір АВ став транспонованим.
І, отримуємо остаточно:
(АВ) Т = ВТ АТ.
Отже, при транспонуванні творів матриць необхідно спочатку транспонувати матриці-множники, а потім записати їх у зворотному порядку.
Як приклад транспонуємо матричний вираз:
тут тепер не матриці-стовпці, а матриці-рядки.
Природно, як і вихідне, і транспоноване матричний вираз зображують одне й те лінійне перетворення.
14. Дії з матрицями, підсумки:
Якби ви вивчали систематичний курс матричного обчислення, то напевно дізналися б багато різних слів, на кшталт «асоціативність додавання та множення матриць», «дистрибутивність множення матриць щодо додавання» тощо, а також зустрілися б з формулами, які докладно розписують властивості операцій із матрицями.
Наприклад, з такими:
I. Операції складання матриць і множення матриці на число мають такі властивості (за умови, що такі операції можливі):
2. А+(В+С) = (А+В)+С;
6. α (А + В) = αА + αВ;
7. (α + β)А = αА + βА;
ІІ. Операції множення матриць і транспонування матричних виразів мають такі властивості (за умови, що такі операції можливі):
2. А(В + С) = АВ + АС;
3. (А + В)С = АС + ВС;
5. А ∙ 0 = 0; 0 ∙ А = 0;
6. А ∙ 1 = 1 ∙ А = А;
7. (α А)Т = α АТ = АТ α;
8. (АВ)Т = ВТ АТ ;
9. (АВС)Т = СТ ВТ АТ ;
10. (А + В)Т = АТ + ВТ.
тут А, В і С - будь-які довільні матриці, 1 і 0 - одинична та нульова матриця відповідно, α і β - довільні числа.
Зверніть особливу увагу на першу формулу з другої групи:
Вона виражає асоціативність матриць щодо множення. Це означає, що можна спочатку обчислити добуток ВС, а потім ліворуч помножити на А, або спочатку обчислити (АВ), а потім праворуч помножити на С, результат буде однаковий. І, взагалі, матриці в будь-якому їх творі можна групувати як завгодно.
Усі перелічені формули легко доводяться.
Але при початковому знайомстві з матрицями не морочте собі всім цим голову.
Тому що з матрицями можна поводитися так само, як зі звичними для нас числами, за винятком кількох відмінностей, про які необхідно пам'ятати:
— сума, різниця та добуток матриць існує не завжди,
- Поділ матриць не визначено,
- Добуток квадратних матриць найчастіше не комутативно,
- одинична матриця при множенні грає в матричному обчисленні таку ж роль, як число 1 при аналогічних діях з числами,
— нульова матриця грає в матричному обчисленні таку роль, як число 0 при аналогічних діях з числами,
- при транспонуванні добутку матриць, потрібно не тільки транспонувати кожну матрицю, але, крім того, необхідно змінити порядок проходження матриць-множників на протилежний.