Рішення рівнянь Ейнштейна definition of Розв’язання рівнянь Ейнштейна and synonyms of Рішення
Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії
| Завдання двох тіл у ВТО · Гравітаційне лінзування · Гравітаційні хвилі · Захоплення інерційних систем відліку · Розбіжність геодезичних · Горизонт подій · Гравітаційна сингулярність · Чорна діра |
| Рівняння Ейнштейна · Лінеаризована ОТО · Постньютоновський формалізм |
| Параметризований постньютоновський формалізм · Теорії типу Калуци - Клейна · Квантова гравітація · Альтернативні теорії |
| Точні рішення: Шварцшильда · Райсснера - Нордстрема · Керра · Керра - Ньюмена · Геделя · Казнера · Фрідмана - Леметра - Робертсона - УолкераНаближені рішення:Постньютоновський формалізм · Коваріантна теорія обурень · Чисельна відносність |
| General Relativity and Gravitation · Classical and Quantum Gravity · Гравітація та космологія · Living Reviews in Relativity |
| Ейнштейн · Мінковський · Шварцшильд · Леметр · Еддінгтон · Фрідман · Робертсон · Фок · Керр · Чандрасекар · Пенроуз Хокінг та інші… |
Вирішити рівняння Ейнштейнаозначає знайти вид метричного тензораgμν простору-часу. Завдання ставиться написанням тензора енергії-імпульсуTμν, який можеописувати як точковий масивний об'єкт, розподілену матерію чи енергію, і весь Всесвіт цілком. Залежно від виду тензора енергії-імпульсурішення рівняння Ейнштейнаможна розділити на вакуумні, польові, розподілені, космологічні та хвильові. Існують також суто математичні класифікації рішень, засновані на топологічних властивостях, що описується ними простору-часу, або, наприклад, на симетрії алгебри тензора Вейля даного простору (класифікація Петрова).
Зміст
Класифікація по заповненню простору
Ця класифікація заснована на вигляді тензора енергії-імпульсу і тут можна виділити кілька типів рішень:
- Вакуумні рішення - такі рішення виходять, якщо:
Таким чином, рівняння Ейнштейна зводяться до:
або .
У математиці такі рішення звуться просторів Ейнштейна, їх дослідженням у межах риманової і псевдоріманової геометрії присвячено безліч робіт.
Найпростіше з таких рішень при - простір-час Мінковського, що описує абсолютно порожній простір без космологічної постійної. Ці рішення також можуть описувати місце навколо масивного компактного об'єкта (аж до його поверхні або сингулярностей). До таких відносяться метрики Шварцшильда, Шварцшильда - Десіттера, Керра, Райсснера - Нордстрема, Керра - Ньюмена, Ньюмена - Унті - Тамбуріно (НУТ), Тауба - НУТ, Коттлера, Ереца - Розена, Кьюведо та інші.
Важливим з фізичної точки зору класом таких рішень є хвильові рішення, що описують поширення гравітаційних хвиль через порожній простір.
- Польові рішення — іноді як джерело гравітаційного полярозглядаються різні поля. У разі безмасового поля найчастіше беруть:
- електромагнітне поле (електровакуумні рішення, що породжуються, як кажуть, рівняннями Ейнштейна - Максвелла)
- безмасове скалярне поле (скалярні рішення)
З масивних полів використовується скалярне поле (зазвичай з нетривіальною самодіяльністю) - так одержують бозонні зірки, або класичне діраківське поле (біспінорне).
- Розподілені рішення - такого роду рішення описують різноманітні види матерії, для якої зазвичай застосовується «плинне» наближення: пилоподібна, газоподібна або рідка матерія. Правомірність наближення пов'язана з тим, що зазвичай у гравітаційних задачах небесної механіки та астрофізики матерія відчуває дуже велику напругу, так що стає плинною і неізотропністю напруг у ній можна знехтувати.
Тут тензорTμν будується для розподіленої маси (поля енергії-маси) і можна виділити два основні використовувані уявлення розподіленої матерії:
- ідеальна рідина (рідинні рішення)
де інтерпретується як 4-вектор швидкості рідини в даній точці, , - Щільність енергії рідини, а - її тиск, які повинні бути пов'язані рівнянням стану ( - Температура рідини);
- невзаємодіючий пил (пилові рішення) - окремий випадок попереднього при
Можна показати, що при русі пилу кожен її елемент рухається по геодезичній лінії метрики, що породжується.
Взагалі можна скласти повну класифікацію алгебри можливих тензорів другої валентності - наприклад, тензора Ейнштейна або енергії-імпульсу. Варіанти таких класифікацій: тензорна класифікація Сегре, розроблена для випадку чотиривимірного простору-часу А. З. Петровим (з помилкою - перепусткою одного з можливих типів - виведена також в "Теорії поля" Ландау і Ліфшица), та спинорна класифікація Р. Пенроу Усі перелічені вище тензори енергії-імпульсу є за цими класифікаціями алгебраїчно спеціальними.
За величиною космологічної постійної
- Рішення з - це розв'язання рівнянь Ейнштейна без лямбда-члена.
- Рішення з - це рішення рівнянь Ейнштейна з лямбда-членом, наявність якого ускладнює рішення, але дозволяє отримувати стаціонарні метрики. Найпростіше з таких рішень – метрика де Сіттера. Тут можливі два варіанти:
- 0" alt="\Lambda \, > 0" />
Точні та наближені рішення
- Точні рішення
- Наближені рішення
Класифікація залежно від часу
- Статичні рішення
- Стаціонарні рішення
- Хвильові рішення – описують гравітаційні хвилі.
Класифікація за симетрією простору
- Однорідні рішення мають однакову кривизну в будь-якій точці простору.
- Ізотропні рішення - їх кривизна змінюється однаково вздовж будь-якої осі, проведеної із заданої точки. Якщо рішення ізотропно по відношенню до будь-якої його точки, воно буде і однорідним.
- Сферично-симетричні рішення - кривизна постійна поверхнях, що мають геометрію двовимірних сфер. Центр симетрії таких сфер, як реальна подія простору-часу, може взагалі не існувати, як у разі кротових нір. Ці рішення використовуються для опису простору навколостатичних чорних дірок, кротових нір і зір, що не обертаються.
- Аксіально-симетричні рішення - кривизна постійна на лініях, що мають геометрію паралельних один одному кіл. При існуванні подій самої осі симетрії можна вибрати точку на ній і сказати, що кривизна залежить від відстані до цієї точки, так і від полярного кута (у сферичній системі координат). Ці рішення можуть бути зіставлені чорним дірам, що обертаються, зіркам, галактикам.
- Дзеркально-симетричні рішення — їхня метрика симетрична щодо тривимірної площини.
Класифікація з асимптотики
Ця класифікація заснована на поведінці рішення на світлоподібній нескінченності.
- Асимптотично-плоскі рішення - такі рішення виникають зазвичай при нульовій космологічній постійній і компактній підтримці тензора енергії-імпульсу. На світлоподібних нескінченностях (або принаймні на їх частинах) такий простір-час досить швидко прагне плоского простору Мінковського. Це рішення дуже важливі з фізичної точки зору, тому що вони з гарним наближенням описують острівні системи - відокремлені системи астрономічних тіл, такі як чорні дірки, планетарні системи, кратні зірки і навіть галактики.
Для таких рішень група асимптотичних симетрій простору-часу (група Бонді — Метцнера — Сакса) дозволяє визначити 4-вектор енергії-імпульсу, що зберігається, і розрахувати перехід енергії системи в гравітаційне випромінювання.
- Космологічні рішення - це найважливіший результат загальної теорії відносності, основа фізичної космології. Вони описують структуру та еволюцію Всесвіту, що вважається приблизно однорідною та ізотропною. Такі рішення стосуютьсярозподіленим, оскільки зазвичай для їх завдання на цьому етапі еволюції Всесвіту розглядається пилоподібна матерія з порошин-галактик.
Зараз загальновизнаним базовим космологічним рішенням, що описує еволюцію Всесвіту «загалом», є рішення Фрідмана – Леметра – Робертсона – Уокера. Раніше розглядалися й інші рішення – метрики Ейнштейна, Леметра, Еддінгтона.
- Замкнуті рішення — у принципі, рівняння Ейнштейна, як локальні рівняння, слабко обмежують глобальну топологію рішення, яка задається, наприклад, за умови (3+1)-розщеплення початковими умовами. Таким чином, можна побудувати розв'язки рівнянь навіть для високопатологічних випадків топології. Найпростішим прикладом може бути простір Мінковського, згорнутий у тор ототожненням гіперплощин і за будь-якою кількістю вимірювань, навіть за часом!
Тим не менш, деякі обмеження рівняння Ейнштейна все ж таки накладають, наприклад, простір постійної позитивної скалярної кривизни обов'язково повинен бути замкнутий.
Класифікація з ізотропних конгруенцій (класифікація Петрова)
Література
Е.Шмутцер Точні рішення рівнянь Ейнштейна