Різноманіття - це
n-вимірне топологічне різноманіття (без кордону) - це хаусдорфовий топологічний простір, в якому кожна точка має відкриту околицю, гомеоморфну відкритому підмножині, тобтоn-мірного Евклідова простору.
n-вимірне топологічне різноманіття з краєм - це хаусдорфово топологічний простір, в якому кожна точка має околицю, гомеоморфну відкритому підмножині замкнутого напівпростору (вважаємо відкритими також об'єднання відкритих підмножин з перетином їх межі і меж). Крапки, які мають відкриту околицю, гомеоморфну відкритому підмножині, називаютьсявнутрішніми, а безліч усіх таких точок -начинка різноманіття(це завжди непорожня безліч). Доповнення до начинки називаєтьсякраєм, це — (n− 1) -мірне різноманіття.
Зазвичай у визначеннях додатково передбачається, що різноманіття або паракомпактно (це еквівалентно метризуемості), або, що ще сильніше, має лічильну базу (це еквівалентно тому, що різноманіття вкладається в Евклідов простір кінцевої розмірності).
Далі ми скрізь припускаємо, що різноманіття має лічильну базу.
Компактне зв'язне різноманіття без кордону називаєтьсязамкнутим, некомпактне зв'язне різноманіття називаєтьсявідкритим.
Коментарі
- Слід зазначити, що введене поняття краю зовсім не рівносильне поняттю відносної кордону в загальній топології.
- Вимога хаусдорфовості може здатися зайвою; приклад простору, що локально гомеоморфно евклідовому, але при цьому не хаусдорфовому, можна побудувати склеюванням двох копій речової прямої по всіх точках, крім однієї.
Гладкі різноманіття
Гладка структура, визначена нижче, зазвичай виникає в багатьох додатках і при цьому робить різноманіття набагато зручніше в роботі.
Починаємо з топологічного різноманіттяMбез кордону. Назвемо картою гомеоморфізм з відкритої множини на відкриту підмножину.
Набір карт, що покривають всеM, називається атласом.
Якщо дві карти і ψ накривають одну точкуM, то їх композиція задає відображення «склейки» з відкритої множини у відкриту множину . Якщо всі відображення склеювання з класуCk(тобтоkразів безперервно диференційованих функцій), то атлас називаєтьсяCkатласом (можна також розглядати або ω, що відповідає нескінченно диференційованим та аналітичним склейкам).
Приклад: сфера може бути покрита -атласом з двох карт на доповненнях північного та південного полюсів із стереографічними проекціями по відношенню до цих полюсів.
ДваCkатласу задають однуCk-гладку структуру, якщо їхнє об'єднання єCk-атласом.
Для таких різноманітностей можна запровадити поняття дотичного вектора, дотичного і кокосового просторів і розшарування.
Для заданоїC1 -гладкої структури можна знайти -гладку структуру, що задається новим -атласом, який задає ту жC1 -гладку структуру. Більше того, всі такі отримані таким чином різноманіття є -диффеоморфними. Тому часто під гладкою структурою розуміютьC1-гладку структуру.
Не кожна топологічна різноманітність допускає гладку структуру. Приклади таких "шорстких" різноманіття з'являються вже в розмірності чотири. Також існують приклади топологічних різноманітностей, які припускають кілька різних гладких структур. Перший такийприклад нестандартної гладкої структури, так звана сфера Мілнор, був побудований Мілнором на семимірній сфері.
Класифікація різноманітностей
Кожне зв'язне одновимірне різноманіття без кордону гомеоморфно речового прямого або кола
Гомеоморфний клас замкнутої зв'язкової поверхні задається її Ейлеровою характеристикою та орієнтованістю. (Якщо орієнтовано, то це сфера з ручками, якщо ні, то зв'язкова сума кількох копій проектної площини)
Класифікація замкнутих тривимірних різноманітностей випливає з гіпотези Терстона, яка була нещодавно доведена Григорієм Перельманом.
Якщо розмірність більша за три, то класифікація неможлива; більше, неможливо побудувати алгоритм, який визначає, чи є різноманіття однозв'язковим. Тим не менш, існує класифікація всіх однозв'язаних різноманіття у всіх розмірностях ≥ 5.
Можна також класифікувати гладкі різноманіття.
- У розмірностях 2 і 3 будь-яка пара гомеоморфних різноманіття також диффеоморфной.
- У розмірності 4 існують приклади замкнутих різноманіття, які допускають нескінченну кількість нееквівалентних гладких структур, а відкриті різноманіття, як, наприклад, допускають континуум різних гладких структур.
- У розмірності 5 і вище будь-яке топологічне різноманіття допускає не більше ніж кінцеве число гладких нееквівалентних структур.
Додаткові структури
Часто гладкі різноманіття оснащують додатковими структурами. Ось список найпоширеніших додаткових структур: