Ряди та інтеграл Фур’є

РЯДИ ТА ІНТЕГРАЛ ФУР'Є

Функціяf(x),визначена на всій числовій осі називаєтьсяперіодичною, якщо існує таке число

Зазначимо деякі дії цієї функції:

1) Сума, різниця, добуток і частки періодичних функцій періодуТє періодичною функцією періодуТ.

2) Якщо функціяf(x) періодТ, то функціяf(ax)має період

3) Якщоf(x)- періодична функція періодуТ, то рівні будь-які два інтеграли від цієї функції, взяті за проміжками довжиниТ> (при цьому інтеграл існує), тобто при будь-якихaіbсправедлива рівність

Тригонометричний ряд. Ряд Фур'є

Якщоf(x) розкладається на відрізку

,то це розкладання єдине і коефіцієнти визначаються за формулами:

Тригонометричний ряд (1) розглянутого виду з коефіцієнтами називаєтьсятригонометричним рядом Фур'є, а

Достатні ознаки розкладності функції до ряду Фур'є

ТЕОРЕМА 1 (Діріхле). Якщо

ТЕОРЕМА 2. Якщоf(x) періодична функція з періодом

Ряди Фур'є для парних та непарних функцій

Нехайf(x) - парна функція з періодом 2L, що задовольняє умовуf(-x) =f(x).

Тоді для коефіцієнтів її низки Фур'є знаходимо формули:

Таким чином, у ряді Фур'є для парної функції відсутні члени з синусами, і ряд Фур'є для парної функції з періодом 2Lвиглядає так:

Нехай теперf(x) - непарна функція з періодом 2L, що задовольняє умовіf(-x) = -f(x).

Тоді длякоефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

Таким чином, у ряді Фур'є для непарної функції відсутній вільний член і члени з косинусами, і ряд Фур'є для непарної функції з періодом 2Lвиглядає так:

Якщо функціяf(x) розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на проміжку

Якщоf(x) розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на [0,L], то визначивши задану функціюf(x) відповідним чином на [-L,0]; далі періодично продовживши (T=2L), отримаємо нову функцію, яку розкладаємо в тригонометричний ряд Фур'є.

Для розкладання до ряду Фур'є неперіодичної функції, заданої на кінцевому довільному проміжку [a,b], треба : довизначити на [b,a+2L] і періодично продовжити, або довизначити на [b-2L,a] і періодично продовжити.

Ряд Фур'є за будь-якою ортогональною системою функцій

Система називається ортогональною та нормованою (ортонормованою) на відрізку [a,b],

якщо виконується умова

Нехай теперf(x) - будь-яка функція безперервна на відрізку [a,b].Поруч Фур'єтакої функціїf(x) на відрізку [a,b]по ортогональній системіназивається ряд:

коефіцієнти якого визначаються рівністю:

Якщо ортогональна система функцій на відрізку [a,b] ортонормована, то в цьому випадку

Нехай теперf(x) - будь-яка функція, безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [a,b] . Поруч Фур'є такої функціїf(x) на тому самому відрізку

за ортогональною системою називається ряд:

Якщо ряд функції Фур'єf(x) за системою (1) сходить до функціїf(x) у кожній її точці безперервності, що належить відрізку [a,b]. У цьому випадку говорять, щоf(x) на відрізку [a,b] розкладається в ряд за ортогональною системою (1).

Комплексна форма ряду Фур'є

Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і назад здійснюється за допомогою формул:

Завдання про коливання струни

Нехай у стані рівноваги натягнута струна довгоюlз кінцямиx=0 іx=l. Припустимо, що струна виведена зі стану рівноваги та здійснює вільні коливання. Розглянемо малі коливання струни, що відбуваються у вертикальній площині.

При зроблених вище припущеннях можна показати, що функціяu(x,t) , Що характеризує положення струни в кожен момент часуt,задовольняє рівняння

---