Розвиток математики до Петра Великого
Розвиток математики в Стародавній Русі
У X ст., у князювання Володимира Святославича (?-1015), давньоукраїнська держава (Київська Русь) досягла найбільшого розквіту та могутності.
По розвитку культури воно займало одне з визначних місць серед держав Європи. У цю епоху у найбільш великих містах (Києві, Новгороді та інших.) вже створювалися школи різного типу.
Поряд з елементарними школами, в яких діти навчалися закону божого, читання, письма, церковних співів і найпростішого рахунку, існували школи підвищеного типу, що давали систематичну освіту. Багато українських князів було краще і різнобічно утворено, ніж західні королі та імператори. Характерно, що грамотність була поширена навіть серед дрібних ремісників. Багато жінок теж були грамотними. Внучка Ярослава Мудрого – Янка Всеволодівна – відкрила перше в Європі жіноче училище. Якщо перша половина середньовіччя у Європі характеризувалася повним занепадом математичних знань, то Русі у цю епоху паралельно із загальним розвитком культури йшло і порівняно швидке поширення математичних відомостей. Правда, до нашого часу не збереглося жодних пам'яток математичної літератури, які давали б нам можливість судити про розвиток математики на Русі в IX-X ст., Але документи іншого характеру дозволяють робити деякі висновки щодо цього. Так, знаменита збірка найдавніших законів "Українська Правда", що створювалася у XI та XII ст., містить деякі дані, що дозволяють судити про ступінь математичної культури у Стародавній Русі. З цього джерела видно, що на той час українські вміли проводити обчислення з цілими числами та з дробовими. Дробові числа вживалися головним чином при обчисленнях, що вимагають застосування різних заходів(Наприклад, при визначенні площ земельних ділянок або при грошових розрахунках).
Разом із давньослов'янською писемністю увійшла у вживання та запис чисел, заснована на тій же абетці та побудована на принципах давньогрецької нумерації.
Грошові одиниці на Русі
У зв'язку з розвитком землеробства, товарообміну, а потім ремесел і торгівлі у слов'ян з'явилися і поступово вдосконалювалися одиниці для вимірювання довжин, площ, сипких тіл, грошей тощо. Проте ці заходи були стійкі: їх значення з часом іноді змінювалося. Грошовими знаками у слов'ян служили спочатку домашні тварини та їхні шкури. У цей час грошові одиниці носили відповідні найменування: "куни" (від слова куниця), "різані" (шкури, нарізані на шматки) та "ногати". З переходом до металевих грошей між колишньою та новою системою одиниць встановилася відповідність.
Металева (срібна) гривня прирівнювалася до 20 ноготів, 25 кунів та 50 різан.
українська срібна гривня була, очевидно, запозичена в арабів, оскільки вона у вагових одиницях дорівнювала арабській одиниці - "ротль".
У пізніші часи (XIV-XV ст.) основною грошовою одиницею став "рубль" або "рубль", що був відрубаний шматок срібла вагою близько 205 р.
У цю епоху в ході були
* "Полтина" (1/2 рубля),
* "гривня" (1/10 рубля)
* "Гроша" (1/100 рубля).
Пізніше з'явилася "копійка", на якій зображувався вершник із списом, звідки, як вважають, і походить ця назва.
Вартість гроші становила 1/2 копійки, і згодом гроші почали називати півшкою, а іноді грошима.
Крім зазначених грошових одиниць, існував "алтин", запозичений від татар ("алти" по-татарськи означає шість), рівнийвартості 6 грошей чи 3 копійок.
Деякий час (за Івана III і Василя III) мали поширення " шаблянки " , отримали своє найменування від зображеного ними воїна з шаблею і дорівнювали за вартістю однієї грошах.
Заходи довжини на Русі
Для вимірювання довжини вживалися заходи, переважно пов'язані з розмірами елементів людського тіла.
Основними заходами довжини були "велика і мала п'ядь", "лікоть", "сажень" і "верста", або "тертя".
Мала п'ядь - відстань між кінцями розсунутих великого та вказівного пальця.
Велика п'ядь – відстань між кінцями великого пальця та мізинця.
Лікоть - відстань від ліктя остаточно руки, стиснутої в кулак.
Саджань - відстань від ступні до кінця витягнутої руки людини середнього зросту.
Верста в різний час мала різне значення: її розміри коливалися від 500 до 750 сажень.
Пізніше (у XVI-XVII ст.) з'явився захід "аршин" (від перського слова "араш" - лікоть), що дорівнює 1/3 сажні.
Заходи площі на Русі
Для вимірювання сипких тіл вживалася "кадь" (близько 14 пудів житнього зерна) та її частки, а в пізніші часи (у XVI-XVII ст.) її замінила "чверть" (6 пудів житнього зерна) з її частками. У зв'язку із заходами сипких тіл утворилися й заходи площ. Назва "чверть" була присвоєна земельній площі, на якій висівалася чверть жита. Дві чверті складали "десятину". Найбільша міра площі - "соха" - мала різне значення. Оскільки сохами мірялася земля визначення розміру податку, то соха доброї землі містила значно менше чвертей, ніж соха поганий; перша містила 800 чвертей, а друга – 1200.
Крім того, державні та общинні землі вимірювалися "чорною сохою", розміри якоїколивалися від 400 до 600 чвертей. Найменші ділянки землі вимірювалися частками чверті.
Заходи ваги на Русі
Вага срібної гривні була здавна прийнята за основну одиницю ваги, яка згодом стала називатися фунтом, а 40 фунтів складали 1 пуд.
Першим українським пам'ятником математичного змісту до теперішнього часу вважається рукописний твір новгородського ченця Кирика, написаний ним у 1136 р. і що носить заголовок "Кирика диякона і доместика Новгородського монастиря Антонієва вчення їм знати людині числа всіх років".
У цьому творі Кирик виявив себе дуже вправним лічильником і великим числолюбцем. Основні завдання, які вирішуються Кириком, хронологічного порядку: обчислення часу, що пройшов між якими подіями.
При обчисленнях Кирик користувався тією системою нумерації, яка називалася малим переліком і виражалася такими найменуваннями:
* 100000 -легіон чи невідій
* 1 000 000 -леодр
Крім малого переліку, у Стародавній Русі існував ще великий перелік, який давав можливість оперувати з дуже великими числами. У системі великого переліку основні розрядні одиниці мали ті ж найменування, що й у малому, але співвідношення між цими одиницями були інші, а саме:
* тисяча тисяч -темрява
* темрява тем - легіон,або невідій
* легіон легіонів -леодр
* леодр леодрів -ворон
* 10 воронів -колода
Про останній із цих чисел, тобто про колоду, говорилося: "І більше цього немає людському розуму розумівати".
Одиниці, десятки та сотні зображалися слов'янськими літерами з поставленим над ними знаком
, Називається "титло", для відмінності цифр від літер.
Темрява,легіон і леодр зображалися тими самими літерами, але на відміну від одиниць, десятків, сотень і тисяч вони обводилися гуртками.
При обчисленні часток однієї години Кирик ввів свою систему дробових одиниць, причому п'яту частину він називав другою годиною, двадцять п'яту - третьою годиною, сто двадцять п'яту - четвертою годиною і т.д.
Найменшою часткою у нього був сьомий годинник, і він вважав, що менших часткою годинника бути вже не може: "більше цього не буває, тобто не народжуються від сьомих дробових, яких у дні буде 987500".
Роблячи розрахунки, Кирик робив дії додавання і множення, а розподіл, ймовірно, він здійснював шляхом підбору, розглядаючи послідовно кратні для даного дільника і дільника.
Основні хронологічні розрахунки Кирик виробляв від дати, яка приймалася у Стародавній Русі за дату створення світу. Обчислюючи таким чином момент написання своєї роботи, Кирик (з помилкою в 24 місяці) стверджує, що з дня створення світу пройшло 79728 місяців, або 200 невідій і 90 невідій і 1 невідій і 652 години. Такого ж роду підрахунком Кирик визначає свій вік, і ми дізнаємося, що він народився 1110 року.
Оперуючи з дрібним годинником, Кирик по суті мав справу з геометричною прогресією зі знаменником 5 .
У творі Кирика приділено місце і питання про обчислення пасхалій, такому важливому для церковників і яке було одним з найважчих арифметичних питань, які доводилося вирішувати служителів церкви.
Якщо Кирик і не дає загальних методів подібних обчислень, то принаймні він показує своє вміння виробляти їх.
Рукописний твір Кирика є єдиним математичним документом, який дійшов до нас з тих далеких часів.
Однак це аж ніяк не означає, що інші математичні твориу той час на Русі не існувало. Мабуть, багато рукописи втрачено нам через те, що вони були загублені в тривожні роки княжих міжусобиць чи загинули під час пожеж, завжди супроводжували набіги сусідніх народів на Русь.
Можливо, ретельні розшуки в архівах допоможуть відновити деякі з подібних рукописів.
Жахливе лихо спіткало Русь на початку XIII ст., коли величезні полчища монголів насунулися зі сходу, знищуючи на своєму шляху все живе. Монголи, користуючись роз'єднаністю і неорганізованістю військової сили набагато культурніших народів Північного Китаю та Середньої Азії, підкорили їх, сприйняли від них військову техніку і з подвоєною силою обрушилися на Русь. Такого потужного удару, який довелося витримати Русі, історія ще не знала.
Природно, що політико-економічні умови, що створилися на Русі, тимчасово призвели до занепаду знань взагалі, математичних зокрема.
Нам відомо порівняно мало джерел, якими ми могли б судити про стан математичних знань в Україні в XV, XVI і навіть XVII ст. До нашого часу збереглися лише рукописні арифметики XV та XVI ст.
Усі вони приблизно однотипні і мають самостійного характеру, а скоріш представляють варіанти аналогічних підручників, які у Західної Європи.
Оскільки в цю епоху в Україні починала швидко розвиватися торгівля, то й підручники арифметики призначалися головним чином за допомогою торгових розрахунків. У цих арифметиках містилося пояснення операцій над цілими і дробовими числами, а потім викладалися прийоми вирішення типових завдань на обчислення ціни товару, прибутку, одержуваного під час продажу, на правила товариства та ін.
Тут же наводились і деякі правила для вирішення методом хибногоположення найпростіших рівнянь першого ступеня з одним невідомим. Зустрічалися завдання розважального змісту, схожі на завдання західних математиків (Баше де Мезіріака та ін.). До XVI ст. відноситься і винахід чудового рахункового приладу, який згодом отримав найменування "українські рахунки". Цей прилад, що має й дотепер настільки велике поширення та застосування, маючи найпростішу конструкцію, дозволяє виконувати досить швидко арифметичні обчислення. Як вважають, ідея створення цього приладу належить українським купцям Строгановим, які наприкінці XVI ст. володіли величезними земельними угіддями по річці Камі та головним промислом яких був видобуток солі. українські рахунки набули швидкого поширення, і обчислення за їх допомогою отримали назву "дощаного рахунку". Ми тут не даємо опису цього приладу, оскільки він загальновідомий, але маємо помітити, що у багатьох випадках рахунки видозмінювалися, оскільки їх пристосовували для спеціальних розрахунків. Так, наприклад, існували рахунки для розрахунків. У них були тяганини, що містять по 9 кісток для рахунку рублів, десятків рублів, сотень рублів та тисяч рублів; крім того, були два дроти по дев'ять кісток для відліку алтинів (трикопієчників) та їх десятків; особливий дріт з чотирма кістками служив для відліку грошей (гроші дорівнювала '/2 копійки); нарешті, були дроти для відліку третіх та четвертих часток. Книг, що відносяться до цієї епохи і присвячені спеціально алгебри або геометрії, до наших днів не збереглося. Але потреба у них виявлялася дедалі наполегливіше. У XVI ст. зросла потужність держави і виникла потреба у подальшому розвитку військової справи. Висока талановитість та проникливий розум українського народу знайшли широке застосування при мужньому захисті батьківщини тастворення озброєння та фортець, при будівництві міст, влаштуванні механічних споруд (водяних млинів, крупорушок, сукновален тощо), а також при майстерному виготовленні різних виробів з дерева та металу. Ця техніка, що зароджується, і розширення торгових відносин із Заходом і Сходом викликали підвищений інтерес до питань обчислювального та вимірювального характеру, і практичні відомості з геометрії стали поступово завойовувати своє місце в книгах, за змістом що належать до військової справи, сільського господарства та будівельного мистецтва. Так було в XVII в. можна відзначити "Книгу з сошного листа" та "Статут ратних, гарматних та інших справ, що стосуються військової науки". Перша з названих книг присвячена питанням землемірства, а друга – питанням стратегії. В обох книгах є відомості, за якими можна до певної міри судити про стан геометричних знань в Україні цього часу. У " Книзі по сошному листу " під час виміру земельних ділянок нерідко застосовуються обчислення, теоретично неправильні. Цілком ймовірно, в їх основі лежать міркування, запозичені з практичного рахунку. Ці обчислення нагадують відповідні обчислення у стародавніх єгиптян. Так, площа трикутника дорівнює половині твору більшої сторони на меншу, а площа трапеції - половині твору суми її підстав на бічну сторону. У "Статуті ратних, гарматних та інших справ" розбираються питання, які показують, що знання з геометрії в українських у ці часи були значно кращими, ніж можна було судити з попередньої книги. Тут даються, наприклад, методи визначення відстані до недоступних предметів та висоти недоступних предметів, причому ці методи ґрунтуються на застосуванні подібності трикутників.