Розв’язання рівнянь, систем та нерівностей
Mathematica включає засоби пошуку коренів різних типів рівнянь і систем. Найчастіше для цих цілей використовується функція Solve [eqn, var], де eqn - рівняння або система, що задається списком рівнянь, var - змінна або перелік змінних, які потрібно визначити. Результат обчислень – список коренів (можливо порожній).
ПалітраBasic Calculations у розділіAlgebra містить кілька шаблонів для введення функції Solve (пункт Solving Equations). Зверніть увагу, що ліва та праві частини рівняння з'єднуються символами ==, наприклад,
Solve[3 x + 9 == 0, x]Solve[x^2 + 2b*x + c == 0, x]Solve[x^2 + 1 == 0, x]Solve[, ]
Рішення шукаються на безлічі комплексних чисел, причому уявна одиниця позначається символом I. Для тригонометричних рівнянь видається лише одне з нескінченної множини рішень.
Програма дозволяє також вирішувати логарифмічні та показові рівняння. Натуральні логарифми задаються функцією Log, а логарифми на основі n - у вигляді Log[n, expr], де expr - аргумент логарифмічної функції, наприклад, Log[2, 1024]. Для Ейлерової константи (основи натурального логарифму) використовується позначення E.
Приклад
Наступний фрагмент демонструє рішення рівняння
In[12]:= Solve[Log[Sqrt[x]]==Sqrt[Log[x]], x]Out[12]= 1>, E^4>>
Для вирішення нерівностей попередньо слід підключити додатковий модуль розширення Algebra:
У випадках, коли неможливо вирішити задане рівнянняаналітично, можнаблизько обчислити значення кореня в такий спосіб. Спочатку за допомогою функції Plot будуються графіки лівої таправою частин рівняння і малюнку перебуває перше наближення x0. Потім для уточнення значення кореня використовується функція FindRoot. Якщо L(x) і R(x) - відповідно ліва і права частини рівняння, x - корінь, а x0 - його наближене значення, визначене за допомогою графіка, то функція для пошуку кореня має вигляд:
Приклад
Знайдемо наближене рішення рівняння e x = x 2 . Побудуємо графіки функцій e x та x 2 , виконавши команду Plot[, ].
Ми отримаємо зображення графіків функцій e x і x 2 одному кресленні для значень аргументу x, що змінюється відрізку [-1,1].
Дивлячись на графіки, бачимо, що як початкове наближення може бути взято значення x0 = -0.5.
Для уточнення рішення нашого рівняння скористаємося командою FindRoot[Exp[x]==x^2, ] та отримаємо наближене значення кореня x = -0.703467. Якщо потрібна більша точність (але не більше 16 знаків після коми), то можна скористатися функцією N. Так, виконавши команду N[FindRoot[Exp[x]==x^2, ], 16], ми отримаємо наближене значення кореня з точністю до 16 знаків після коми: x = -0.7034674295409824.
Приклад
Як правило, тригонометричні рівняння мають безліч рішень, тому можна вказувати різні початкові наближення і отримувати наближені значення різних коренів рівняння. Так, виконавши команду FindRoot[Sin[x^2]==0, ], знайдемо x = 1.77245, а змінивши початкове наближення з 2.0 на 3.0, за допомогою команди FindRoot[Sin[x^2]==0,] отримаємо наближене значення іншого кореня рівняння, саме x=3.06998.