Спектральна теорема для унітарних операторів та унітарних матриць теорема (про зв’язок між унітарним

23. Спектральна теорема для унітарних операторів та унітарних матриць.

Теорема (про зв'язок між унітарним та нормальним оператором):

Оператор A явл-ся унітарним і тоді, коли: 1) A – нормальний оператор, 2) все власні значення по модулю рівні одиниці, тобто. .

Нехай A – унітарний оператор, тоді за визначенням отже , тобто. A – норм. оператор. З іншого боку по св-ву 3 унітарних операторів все собст. Значення по модулю дорівнюють одиниці, тобто. .

Нехай A – норм. опер. Тоді за спектральною теоремою для норм. операторів в унітарн. простр-ве U існує ОНБ – базис із собств. в-в оператора A: . Візьмемо довільний ел-т і розкладемо його за цим ОНБ. Враховуючи що запишемо:

Якщо, тобто. , тобто. . Аналогічно, звідси A – унітарний оператор. #

Нехай A – унітарний оператор, який діє в унітарному просторі. Тоді в просторі існує ОНБ із власних. в-в оператора A , а всі його власні значення дорівнюють за модулем одиниці

Нехай – унітарна матриця. Тоді: 1) всі власні значення матриці A дорівнюють за модулем одиниці, тобто. ; 2) існує унітарна матриця стовпцями якої є власні в-ри матриці A . така, що

Випливає з попередньої теореми та спектральної теоєрми для нормальних операторів.

24.Приведення ермітової квадратичної форми до канонічного виду.

Нехай – ермітова полуторолинейная форма унітарному просторі, тобто. . Тоді за теоремою про уявлення полуторолинейной форми існує єдиний лин. оператор A, такий що.

1) Доведемо, що A – самосполучений оператор. Справді з одного боку, з іншого боку, тобто. отже, тобто. A – самосполуч. опер.

2) Нехай - ОНБ в унітарному просторі та - матриці ермітової напівторалінійної форми та самосполученого оператора A в унітарному просторі. Отримаємо зв'язок між і .

Якщо -симетрична білінійна форма в Евклідов просторі E і , то A - самосполучений оператор і в будь-якій ОНБ простору E матриці і збігаються, тобто. .

Якщо в ермітовій напівторалінійній формі покласти y = x, отримаємо ермітову квадратичну форму

Нехай - ермітова квадратична форма в унітарному просторі U. Тоді в цьому просторі U існує ОНБ, в якому ермітова квадратична форма набуває канонічного вигляду: , де координати вектора x в базисі (e); - Речові числа.

Запишемо: , де A – самосполучений оператор. По спектральній теоремі для самосупр. Операторів в унітарному просторі U існує ОНБ із собств. в-в оператора при цьому

Розкладемо вектор x за цим ОНБ:

Нехай - квадратична форма в Евклідов просторі E . Тоді в цьому просторі існує ОНБ, в якому квадратична форма набуває канонічного вигляду:

, де - Координати вектора x в базисі (e); - Власні значення матриці квадратичної форми.

Запишемо: , де A – самосполучений оператор. По спектральній теоремі для самосупр. Опреторів в евклідовому просторі E існує базис і власності. в-в оператора A , у якому його матриця, отже, і матриця квадратичної форми приймає діагональний вигляд, т.к. за зауваженням в евклідовому просторі в будь-якому ОНБ. Тому діагональному вигляду оператора A відповідає канонічний вигляд квадратичної форми. #

Для будь-якої квадратичної форми в унітарному (евклідовому) просторі існує ортогональне перетворення, що приводить квадратичну форму до канонічного вигляду.

З кожною квадратичною формоюасоціюється самосполучений оператор A, такий, що

Як уже зазначалося, у будь-якому ОНБ в евклідовому просторі матриці квадратичної форми та самосполученого оператора збігаюся. При приведенні самосполученого оператора A до діагонального вигляду одночасно з ним квадратична форма наводиться до канонічного вигляду, оскільки закони перетворення матриці оператора A і матриць квадратичної форми і збігаються, якщо P – ортогональне перетворення, тобто. .

25. Одночасне приведення пари квадратичних форм до канонічного виду.

Нехай і - 2-е ермітові напівторалінійні форми в унітарному просторі U; і - відповідні їм ермітові квадратичні форми. Поставимо таке завдання: знайти таке невироджене перетворення змінних, що одночасно призводить ермітові квадратичні форми і до канонічного виду (точніше, одна квадратична форма наводиться до канонічного вигляду, інша до нормального вигляду).

Нехай і - 2-і ермітові квадратичні форми в унітарному пр-ві U і нехай Θ: 0 (тобто позитивна визначена). Тоді в просторі U існує базис , в якому ермітові квадратичні форми і набувають канонічного вигляду: ,

, де - Координати вектора x в базисі, - Речові числа.

Розглянемо ермітову напівторалінійну форму, полярну до ермітової квадратичної форми (яка позитивно визначена). Тоді в унітарному пр-ві U можна запровадити скалярне твір (ще одне) таке що . Це можна зробити так - покладе. визначено. Комплексний лінійний простір U із введеним у ньому скалярним твором є так само унітарним. По теоремі про приведення ермітової квадратичної форми до канонічного виду в просторі U існує базис ортонормований у сенсі скалярного твору такий, що . З іншого боку, т.п. базис -ортонормований, то

Нехай і - 2-і квадратичні форми, задані в евкліді пр-ві E і нехай

Θ: >0. Тоді в унітарному пр-ві E існує базис, в якому квадратичні форми і мають канонічний вигляд:

коефіцієнт. визначаються з рівняння, а відповідні базисні в-ри визначаються із системи урав-ий, у своїй; .

Доказ: Без доказу

26.Визначення невиродженого лінійного оператора та його властивості.

Як відомо (див. § 4 гл.IV) перетворення матриці лінійного оператора A при переході від базису ( e ) до базису ( e ) здійснюється за формулою , де T - матриця переходу від ( e ) до ( e ). Звідси випливає слідство за яким визначник матриці оператора явл-ся інваріантним, тобто. його значення не змінюється під час переходу від одного базису до іншого (див. § 4 гл.IV). Отже якщо матриця лінійного оператора є невиродженою (тобто. має визначник відмінний від нуля) в одному базисі, то матриця даного лін. оператора буде невиродженою і в будь-якому іншому базисі.

Лінійний оператор називається невиродженим, якщо він задається невиродженою матрицею.

З визначення випливає, що будь-який невироджений оператор оборотний, і навпаки (див. Критерій оборотності лінійного оператора, § 3 гл. IV).

Властивості невиродженого оператора:

Якщо A і B – невироджені оператори, їх добуток AB також є невиродженим оператором.

Нехай C = AB тоді в будь-якому базисі маємо для матриці даних операторів. Оскільки A і B – невироджені оператори, то det, det det = det = det det. Звідси С – невироджений оператор #

2. Якщо оператор A є невиродженим, то зворотний оператор також є невиродженим.

Т.к. , то, наприклад, звідси . Так як , то і -невироджений оператор #

3. Якщо оператор A явл-ся невиродженим, то пов'язаний йому оператор також невироджений.

У довільному ОНБ має, звідси, т.к. , то – невироджений оператор. #

4. Якщо оператор A явл-ся невиродження., то рівність Ax = Θ можливо тільки при x = Θ (на цю властивість ми посилаємося § 5 гл.IV).

Доказ: Нехай, обравши довільний базис запишемо однорідну СЛАУ, тут A e - матриця даного оператора А в базисі (е) - координатний стовпець вектора х. Оскільки однорідна СЛАУ з квадратною матрицею має нетривіальне рішення тоді й лише тоді, коли (див. параграф 5 Глави II), а в нас (через невиродженість оператора А) то однорідна СЛАУ може мати лише тривіальне рішення. #

27. Подання невиродженого лінійного оператора у вигляді твору самосполученого та унітарного (ортогонального) операторів.

Нехай - довільний лінійний невироджений оператор, де V = U або V = E; A * - Оператор, пов'язаний до оператора А .

Лемма: Лінійний оператор A * A (як і AA * ) є самосполученим при цьому його власні значення позитивні.

Введемо позначення B = A * A. Запишемо B * =( A * A ) * = A * ( A * ) * = A * A (за властивостями сполученого оператора 1-го і 2-го) отже, B * = B тобто. В – самосполучений оператор.

Нехай λ - власне значення оператора, х – відповідний власний вектор оператора У тобто. Bx = x , крім того за якістю 2 самосполучених операторів. Тоді, звідси, тут.

Нехай = 0, тоді , тобто. Ax = θ і за якістю 4 0 невироджених операторів маємо x = θ чого не може, т.к. #.

Теорема: Будь-який невироджений лінійний оператор в унітарному (евклідовому) просторі представимо у вигляді твору 2-хоператорів: самосполученого та унітарного (ортогонального).

Доказ: Без підтвердження.

Примітка: Самосполучені та унітарні (ортогональні) оператори достатні для опису безлічі невироджених операторів в унітарному (евклідовому) просторі.

28. Багаточлен від матриці та лінійного оператора.

Нехай – лінійний оператор; - Квадратна матриця порядку n;

- довільний базис у розглянутому просторі V.

Ступінь матриці А визначається звичайним чином; . Крім того, можна записати , де p і q - цілі невід'ємні числа.

Визначення: Якщо багаточлен (ціла раціональна функція) то многочленом від матриці А називається квадратна матриця .

Визначення: Багаточлен від лінійного оператора φ називається лінійний оператор , де ; , крім того (тут Ix = x) і, очевидно, що .

Випливає з визначення твору 2-х операторів. #

В силу ізоморфізму (взаємооднозначної відповідності) лінійних операторів φ і квадратних матриць А слідують рівності і .

Визначення: Кажуть, що багаточлен P (t) анулює лінійний оператор φ (матрицю), якщо .

Розглянемо лінійний простір квадратних матриць порядку n, , нехай A 0 - довільна квадратна матриця порядку n, тоді матриці будуть л.н.з., якщо такі що. Це означає, що многочлен P (t) анулює матрицю A0.

Звідси випливає, що існує багаточлен мінімального (min) ступеня, що анулює матрицю A 0 .

Визначення: Мінімальним багаточленом матриці А (або лінійного оператора φ) називається багаточлен найменшого ступеня зі старшим коефіцієнтом рівним 1, що анулює цю матрицю А (оператор φ).

Позначення: або відповідно.

Лемма: Нехай багаточлен та квадратна матрицяпорядку n, пов'язані співвідношенням P (λ) E = (A - E) C (λ), де, де - квадратні матриці порядку n. Тоді P(A)=0.

Доказ: Без підтвердження.

Теорема: Будь-який анулюючий багаточлен ділиться націло на мінімальний багаточлен.

Нехай P (t) - анулюючий многочлен, тоді P(A) = 0. Розділимо P (t) на із залишком, тобто. тут q (t) - приватне, r (t) - залишок. Зазначимо, що (тут deg – ступінь). Запишемо: , тобто. r(t) - анулює матрицю А.

Звідси випливає, що , т.к. в іншому випадку ( ) отримали б, що r ( t ) має ступінь менший, ніж , чого не може бути, тому . #

Наслідок: Мінімальний багаточлен єдиний.

Нехай і два мінімальні багаточлени. Вони однакового ступеня, діляться націло один на одного і мають коефіцієнти при старшому ступені рівні одиниці. Тому, очевидно, вони збігаються. #

Зазначимо, що у будь-якому базисі , причому .

Теорема (Гамельтона-Келлі): Будь-який лінійний оператор і його матриця анулюється своїм характеристичним багаточленом.

Розглянемо матрицю (A - E). Відомо, що матриця зворотна до цієї має вигляд , де c ( λ ) - матриця з алгебраїчних доповнень ( n -1)-го порядку щодо λ матриці ( A - λE ).

Запишемо: або . Помножуючи останню рівність зліва на отримаємо: . Т.к. c ( λ ) - багаточлен ступеня не вище ( n -1) щодо λ , то взявши згідно з Лемме отримаємо, що . #

1) ділиться націло на .

2) Т.к. коріння мінімального многочлена є підмножиною коренів характеристичного багаточлена (власних значень оператора), то мінімальний багаточлен також розкладається на лінійні множники.

29.Корневі вектори та кореневі підпростори.

Визначення: Вектор x  θ простору V називається кореневим векторомлінійного оператора, якщо і (*).

Таким чином, зокрема, кожен власний вектор є кореневим (m -1). Найменше (min) m, при якому виконується рівність (*) називається висотою кореневого вектора х.

1) Власний вектор – кореневий вектор висоти 1 (m = 1).

2) Якщо справедливо, то λ - власне значення оператора φ.

Нехай х - кореневий вектор висоти m , тоді при цьому тоді звідси у - власний вектор, що відповідає власному значенню λ . #

Говорять, що кореневий вектор х належить власному значенню .

Визначення: Підпростір - кореневий вектор оператора φ, що відповідає власному значенню λ або x = θ. називається кореневим підпростором.

---